Ας εφαρμόσουμε τα παραπάνω

- Ο οδηγός του αυτοκινήτου στην εικόνα αντιλαμβανόμενος το δέντρο φρενάρει απότομα τη στιγμή κατά την οποία ο εμπρόσθιος προφυλακτήρας απέχει από αυτό απόσταση d = 50m και η ταχύτητά του είναι υ0= 10m/s. Εξαιτίας της βροχής ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των τροχών και του δρόμου είναι η= 0,1.

1) Ο οδηγός τελικά θα αποφύγει τη σύγκρουση με το δέντρο; 2) Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα (υ-t), (s-t) και (α-t). (g=10m/s2)

Λύση 1) Προφανώς, θα πρέπει να συγκρίνω την απόσταση d με το διάστημα sολ, το οποίο θα διατρέξει το αυτοκίνητο μέχρι να σταματήσει. Έχουμε μάθει ότι [pic], οπότε αναζητούμε την επιβράδυνση α της κίνησης.

Οι δυνάμεις που ασκούνται στο αυτοκίνητο είναι το βάρος του (πεδίου), η αντίδραση Ν επί των τροχών (επαφής) και η τριβή ολίσθησης (επαφής). Ισχύουν: ΣFy=0 ή Ν-Β=0 ή Ν=Β (1) ΣFx=mα ή -Τ = mα (2) Τ= ηΝ (3) Η σχέση (2), λόγω της (1) και της (3), γίνεται: -ηΒ=mα και επειδή B=mg, έχουμε τελικά ότι: -ηmg = mα ή α= -ηg (4) Βρήκαμε, επομένως, την επιβράδυνση α της κίνησης.

Στη συνέχεια κάνοντας τις απαραίτητες αντικαταστάσεις και πράξεις βρίσκουμε ότι sολ=50m, ενώ δίνεται ότι και d=50m. Άρα το αυτοκίνητο μόλις που έρχεται σε επαφή με το δέντρο.

2) Εφόσον θέλουμε να κατασκευάσουμε διαγράμματα με το χρόνο, πρέπει να βρούμε προηγουμένως πόσο χρόνο διαρκεί η κίνηση του αυτοκινήτου. Γνωρίζουμε ότι στις επιβραδυνόμενες κινήσεις ο απαιτούμενος χρόνος μέχρι να σταματήσει ένα κινητό είναι [pic] οπότε λόγω της (4) [pic] δηλαδή [pic].

Τα ζητούμενα διαγράμματα σχεδιάζονται συμφωνά με όσα γνωρίζουμε σχετικά με τις ευθύγραμμες ομαλά επιβραδυνόμενες κινήσεις.

Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι το ολικό διάστημα κίνησης μπορούσαμε να το βρούμε και από το διάγραμμα της ταχύτητας, υπολογίζοντας το εμβαδόν του τριγώνου, που σχηματίζεται από το γράφημα της ταχύτητας και από τους άξονες.

Πράγματι: [pic].

- Δύο σώματα Σ1 και Σ2 μαζών m και 3m αντίστοιχα κινούνται όπως δείχνει το σχήμα με επιτάχυνση α = g/2. Ζητούνται: α) ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ1 και του οριζόντιου επιπέδου, β) η τάση του σχοινιού. (m=1kg, g=10m/s2)

Λύση 1) Αρχικά σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα που εξετάζουμε. Για το σώμα Σ1: το βάρος του Β1, την τριβή Τ, την κάθετη δύναμη του επιπέδου Ν, και την τάση από το σχοινί f. Για το σώμα Σ2: το βάρος του Β2, και την τάση από το σχοινί f'. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε στους άξονες y και x το θεμελιώδη νόμο της δυναμικής, παίρνοντας ως θετική φορά των δυνάμεων στον x άξονα τη φορά της κίνησης: ΣFy = 0 ή Ν- Β1 =0 ή Ν =Β1 (1) ΣFx=mα ή Β2-f'+f-Τ = (m1+m2)α (2). Όμως, f=-f' (δράση-αντίδραση) και Τ= ηΝ ή λόγω της (1) Τ= ηΒ1. Άρα η (2) γίνεται: Β2 - ηΒ1 = (m1+m1)α και επειδή α=g/2, Β2=m2g =3mg, B1=m1g =mg θα έχουμε ακόμη ότι: Β2 - ηΒ1 = (m1+m2) g/2 ή 3mg-nmg=4mg/2 άρα n=1.

2) Για να βρούμε την τάση του σχοινιού εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο σε ένα από τα δυο σώματα (συνήθως σε αυτό που ασκούνται λιγότερες δυνάμεις). Έτσι, για το Σ2 θα έχουμε: ΣFx=mα ή Β2 - f' = m2α ή m2g - f'= m2 g/2 ή 3mg- f'= 3m g/2 ή f'= 5 N. Το ίδιο αποτέλεσμα θα βρίσκαμε, αν δουλεύαμε με το Σ1. Ας δοκιμάσουμε.

- Σώμα μάζας m κινείται προς τη βάση κεκλιμένου επιπέδου με σταθερή ταχύτητα. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι [pic], να υπολογιστεί η γωνία κλίσης φ του κεκλιμένου επιπέδου.

Λύση Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και αναλύουμε το βάρος κατά τον άξονα κίνησης (x) και τον κάθετο σε αυτόν (y). Στη συνέχεια με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας βρίσκουμε τις συνιστώσες του βάρους Βx και By.

Είναι: Βx = Βημθ και By=Bσυvθ. Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της δυναμικής σε κάθε άξονα: ΣFy=0 ή N - Βy=0 ή N= Βσυνθ ή Ν= mgσυνθ (1) ΣFx=mα, επειδή όμως η ταχύτητα είναι σταθερή, α = 0 και συνεπώς ΣFx=0, δηλαδή: Βx - Τ = 0 ή Βημθ - ηΝ = 0 και λόγω της (1) έχουμε ότι [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic]

• Αν υποθέσουμε ότι το σώμα του προηγουμένου παραδείγματος έχει μάζα [pic] και θέλουμε να ανέρχεται στο κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα, πόση σταθερή δύναμη F παράλληλη με το κεκλιμένο επίπεδο πρέπει να του ασκούμε; (g=10m/s2)

Λύση ΣFy=0 ή N-Βy=0 ή Ν= Βσυνθ ή Ν= mgσυνθ (1) [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic].

• Αν κάποια στιγμή καταργήσουμε τη δύναμη, τι νομίζετε ότι θα κάνει στη συνέχεια το σώμα; (…μια μικρή υπόδειξη: μεταξύ των άλλων χρησιμοποιήστε αυστηρά τις γνώσεις σας περί οριακής τριβής….)