Παραδείγματα

1. Δίνεται το διάγραμμα (Ι) μεταβολής της ταχύτητας με το χρόνο ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα. Ζητούνται τα διαγράμματα διαστήματος-χρόνου (II) και επιτάχυνσης-χρόνου (III)

Λύση Εξετάζουμε την κίνηση χωριστά σε κάθε χρονικό διάστημα στο οποίο το είδος αυτής αλλάζει. Αφού βρούμε τα διαστήματα και τις επιταχύνσεις με τη βοήθεια των εξισώσεων κίνησης ή με τη γραφική μέθοδο, τα απεικονίζουμε στους αντίστοιχους άξονες.

- Χρονικό διάστημα 0-4s Το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. [pic], διότι η κίνηση είναι ομαλή.

- Χρονικό διάστημα 4-6s Το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. [pic]

- Χρονικό διάστημα 6-10s Το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. [pic]

2. Δρομέας των 100m αναπτύσσει μέγιστη ταχύτητα llm/s κινούμενος με σταθερή επιτάχυνση 5m/s2. Θέλουμε να βρούμε το χρόνο που έκανε ο δρομέας, καθώς και τα διαγράμματα (υ-t), (s-t), (α-t) της κίνησής του.

Λύση Η κίνηση του αθλητή αποτελείται από δυο επιμέρους κινήσεις:

• από μια ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση α = 5m/s2 μέχρι να επιτύχει τη μέγιστη ταχύτητα του υ = llm/s. Η κίνηση αυτή διαρκεί από τη στιγμή της εκκίνησης του μέχρι μια χρονική στιγμή t, την οποία μπορούμε να βρούμε από την εξίσωση της ταχύτητας: υ=υο+αt ή (επειδή υο=Ο) [pic] ή [pic], και

• από μια ομαλή κίνηση με ταχύτητα υ = llm/s μέχρι τον τερματισμό του κατά τη ζητούμενη χρονική στιγμή έστω tx.

Από το διάγραμμα (υ-t) μπορούμε εύκολα να βρούμε το χρόνο tx, αν θυμηθούμε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος εκφράζει το διάστημα που διανύει ο δρομέας, το οποίο είναι βέβαια 100 m. Επομένως: [pic]

Από την εξίσωση αυτή εύκολα υπολογίζεται ότι tx = 10,19s (προφανώς: μεγάλη βάση τραπεζίου = tx μικρή βάση = tx-2,2 και ύψος τραπεζίου = 11m/s).

Στη συνέχεια εύκολα μπορούμε να κατασκευάσουμε το διάγραμμα (s-t) και (α-t) συμφωνά με τα όσα ισχύουν για την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και για την ομαλή.

3. Οδηγός αυτοκίνητου αντιλαμβάνεται έναν άνθρωπο σε απόσταση 20m, ο οποίος επιχειρεί να διασχίσει το δρόμο. Αν ο χρόνος αντίδρασης του οδηγού είναι ta= 0,1s και η (μέγιστη) επιβράδυνση που μπορεί να αναπτύξουν τα φρένα του αυτοκίνητου είναι a=15m/s2, με πόση (μέγιστη) ταχύτητα πρέπει να κινείται το αυτοκίνητο, ώστε να μη χτυπήσει τον πεζό;

Λύση Η κίνηση του αυτοκίνητου αποτελείται από δυο επιμέρους κινήσεις:

• από μια ομαλή κίνηση, που διαρκεί ta= 0,1s, δηλαδή από τη στιγμή που ο οδηγός του αυτοκινήτου αντιλαμβάνεται τον άνθρωπο μέχρι να αντιδράσει και να πατήσει φρένο. Στη διάρκεια αυτού του χρόνου το αυτοκίνητο διανύει διάστημα s1=u0 ta(1), και

• από μια ομαλά επιβράδυνα μένη με επιβράδυνση 15m/s2 και αρχική ταχύτητα υ0, η οποία είναι η ταχύτητα που θέλουμε να βρούμε. Κατά την επιβραδυνόμενη κίνηση το αυτοκίνητο μέχρι να σταματήσει να κινείται διανύει διάστημα (….θυμηθείτε το ολικό διάστημα της ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης…) [pic] (2)

Προκειμένου ο άνθρωπος να μη χτυπηθεί από το αυτοκίνητο, θα πρέπει το άθροισμα αυτών των δυο διαστημάτων να μην είναι μεγαλύτερο από την απόσταση των 20m. Δηλαδή, s1+s2

Από τη σχέση (3), θα βρούμε τη μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα του αυτοκινήτου: s1+ s2 = d, και λόγω των σχέσεων (1) και (2) έχουμε ότι: [pic] ή [pic] ή [pic] (4)

Η (4) είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού ως προς την ταχύτητα υ0 που θέλουμε να βρούμε. Η επίλυσή της σύμφωνα με όσα ξέρουμε από τα μαθηματικά θα μας δώσει δυο λύσεις: [pic] και [pic]

Από τις δυο λύσεις δεκτή είναι η θετική υ01=23,04m/s, διότι θεωρούμε ότι η κίνηση του αυτοκινήτου γίνεται κατά τη θετική φορά του άξονα κίνησης x'x.

Συμπεραίνουμε ότι για ταχύτητα μεγαλύτερη από 23,04m/s (82,9km/h) θα έχουμε ατύχημα.