Μαθηματικός προβληματισμός

Στο σχήμα της εικόνας μεθάμε την κίνηση ενός σώματος, το οποίο διαγράφει την τροχιά C μεταξύ δύο θέσεων Α και Β, οι οποίες καθορίζονται από τα διανύσματα θέσης r1 και r2 αντίστοιχα. Το κινητό σε χρόνο Δt μετατοπίζεται κατά το διάνυσμα Δr, το οποίο, όπως γνωρίζουμε, συνδέει την αρχική με την τελική θέση του. Ορίζουμε ως μέση ταχύτητα υΜ ένα νέο διάνυσμα, που έχει φορά και διεύθυνση τη φορά και τη διεύθυνση της μετατόπισης και μέτρο [pic]. Η γνώση της [pic], όμως, δεν αρκεί, για να ξέρουμε τι συμβαίνει σε κάθε σημείο.

Έτσι, οι φυσικοί σκέφτηκαν το εξής «τέχνασμα»: Θεώρησαν ότι το χρονικό διάστημα Δt γίνεται τόσο μικρό, ώστε το σημείο Β σχεδόν να συμπίπτει με το Α. Έτσι, η μετατόπιση Δr από τέμνουσα της τροχιάς, που ήταν στα σημεία Α και Β, μετατρέπεται σε εφαπτομένη αυτής στο σημείο Α. Ταυτόχρονα το πηλίκο Δr/Δt παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή υ, που ονομάζεται στιγμιαία ταχύτητα και είναι ένα διάνυσμα εφαπτόμενο της τροχιάς.

Το μέτρο του για κάθε σημείο δίνεται από τη σχέση: [pic] (ds είναι το απειροελάχιστο τμήμα της τροχιάς που διαγράφεται στον απειροελάχιστο χρόνο dt).