Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

3.2 Το θεώρημα των ροπών για ομοεπίπεδες δυνάμεις

Θεωρούμε έναν τροχό που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα.

Στο σημείο Α της περιφέρειας του τροχού ασκούμε δυο δυνάμεις F1 και F2 όπως φαίνεται στην εικόνα 3.7.

Η δύναμη F1 είναι μεγαλύτερη από τη δύναμη F2.

Το ερώτημα που τίθεται είναι προς τα που θα περιστραφεί ο τροχός.

Εικόνα 3.7 Περιστρεφόμενος τροχός

Για το λόγο αυτό θεωρούμε τις ροπές των δυο δυνάμεων: Μ1 = F1 · l (θετική, επειδή περιστρέφει το σώμα αντίθετα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού), M2=-F2 * l (αρνητική, επειδή περιστρέφει το σώμα σύμφωνα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού), όπου l η απόσταση των δυνάμεων F1 και F2 από τον άξονα περιστροφής.

Η συνισταμένη ροπή θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυο δυνάμεων: Mολ = Μ1 + Μ2 ή Mολ = F1.l-F2.l ή Mολ = (F1-F2)*l.

Παρατηρούμε ότι η διαφορά F1 - F2 είναι η συνισταμένη Fολ των δυο συγγραμμικών και αντίρροπων δυνάμεων F1 και F2. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε: [pic]

Διαπιστώνουμε, λοιπόν, ότι η συνισταμένη ροπή είναι ίση με τη ροπή που προκαλεί η συνισταμένη Fολ των δυνάμεων.

Αν αντί για δυο θεωρήσουμε περισσότερες ομοεπίπεδες δυνάμεις F1, F2, F3,…. να ασκούνται σε ένα στερεό σώμα, καθώς και έναν οποιοδήποτε άξονα περιστροφής του σώματος, αποδεικνύεται ότι:

Η συνισταμένη Mολ των ροπών M1, M2, Μ3,…. όλων των δυνάμεων F1, F2, F3,…. είναι ίση με τη ροπή που προκαλεί η συνισταμένη όλων των δυνάμεων. [pic] (3.2)

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως θεώρημα των ροπών, το οποίο έχει πολλές εφαρμογές.

Το θεώρημα των ροπών, επίσης, διατυπώνεται και ως εξής: Η ροπή Mολ της συνισταμένης πολλών ομοεπίπεδων δυνάμεων F1, F2, F3,… ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο των δυνάμεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα αυτό. [pic] (3.3)