Απάντηση :

Επειδή το φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια του κελύφους, το πεδίο που δημιουργεί το κέλυφος έχει ακτινική διεύθυνση και η ένταση έχει την ίδια τιμή σε όλα τα σημεία που απέχουν το ίδιο από το κέντρο του κελύφους. Για τους λόγους αυτούς επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss μια σφαιρική επιφάνεια, ομόκεντρη με το κέλυφος.

Σχ. 3.10 Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στο σφαιρικό κέλυφος.

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, [pic]. Χωρίζουμε την επιφάνεια σε πολύ μικρά τμήματα. Έστω ένα από αυτά, εμβαδού ΔΑ. Η κάθετη ΔΑ στην επιφάνεια ΔΑ και η ένταση του πεδίου σ΄ αυτή την περιοχή, έχουν την ίδια κατεύθυνση, (σχ. 3.11) επομένως η ροή που διέρχεται από την επιφάνεια ΔΑ είναι [pic] Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο τμήμα ΔΑ της επιφάνειας Gauss. Άρα η συνολική ροή είναι [pic] (3.5)

Σχ. 3.11 Η επιφάνεια Gauss είναι σφαίρα ομόκεντρη με το κέλυφος με ακτίνα μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους.

Όμως από το νόμο του Gauss έχουμε [pic] (3.6) Από (3.5) και (3.6) έχουμε [pic] επομένως [pic] Αυτή όμως είναι η σχέση που δίνει την ένταση του πεδίου που δημιουργεί ένα σημειακό φορτίο Q, σε απόσταση r. Επομένως ο σφαιρικός φλοιός συμπεριφέρεται, στον εξωτερικό του χώρο, σαν να ήταν ένα σημειακό φορτίο συγκεντρωμένο στο κέντρο του.

Ας δούμε όμως τι συμβαίνει στο εσωτερικό

Β) Επιλέγουμε και πάλι μια σφαιρική επιφάνεια Gauss ομόκεντρη με το κέλυφος που τώρα έχει ακτίνα r < α. Αν, όπως και πριν, φανταστούμε την επιφάνεια χωρισμένη σε στοιχειώδη τμήματα, θα καταλήξουμε πάλι στη σχέση [pic] (3.7) Σύμφωνα με το νόμο του Gauss [pic] όμως [pic] επομένως [pic] (3.8) Από (3.7) και (3.8) προκύπτει Ε=0

Δηλαδή στο εσωτερικό του κελύφους δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο.

Σχ. 3.12 Η επιφάνεια Gauss είναι σφαίρα ομόκεντρη με το κέλυφος και με μικρότερη ακτίνα

Σχ. 3.13 Όλο το φορτίο του σφαιρικού αγωγού βρίσκεται στην επιφάνειά του. Εξωτερικά ο αγωγός συμπεριφέρεται σαν όλο του το φορτίο να είναι συγκεντρωμένο στο κέντρο του (σαν σημειακό φορτίο). Στο εσωτερικό του αγωγού το πεδίο είναι μηδέν.