Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Κανόνες Παραγώγισης

- Η παράγωγος της συνάρτησης [pic] Έστω η συνάρτηση [pic]. Έχουμε [pic], και για [pic] [pic]. Επομένως [pic]. Άρα [pic]. Για παράδειγμα [pic], [pic] και [pic].

- Η παράγωγος της συνάρτησης [pic] Έστω η συναρτηση [pic]. Έχουμε [pic] [pic], και για [pic], [pic]. Επομένως [pic]. Άρα [pic] Για παράδειγμα [pic] και [pic].

- Παράγωγος των συναρτήσεων [pic] και [pic] Για το γινόμενο και το πηλίκο συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης: [pic] [pic]. Για παράδειγμα [pic] και [pic]

- Η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Γνωρίζουμε ήδη πώς παραγωγίζονται οι συναρτήσεις [pic], ημx, συνx, [pic] και [pic]. Επίσης, με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης αθροίσματος, γινομένου και πηλίκου μπορούμε να παραγωγίσουμε και πολυπλοκότερες συναρτήσεις όπως για παράδειγμα τις [pic] και [pic] για τις οποίες έχουμε [pic] και [pic] Πώς όμως θα παραγωγίσουμε μια συνάρτηση όπως η [pic]; Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση [pic] προκύπτει αν στην [pic] θέσουμε όπου x το [pic]. Είναι, δηλαδή, [pic]. ΓιΆαυτό η συνάρτηση F λέγεται σύνθεση της g με την f. Αποδεικνύεται ότι για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει: [pic]. Δηλαδή για να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση [pic], σε πρώτη φάση παραγωγίζουμε την f σαν να έχει ανεξάρτητη μεταβλητή την g(x) και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της g. Επομένως, [pic]. Επίσης, επειδή όπως είδαμε, είναι [pic], έχουμε: [pic]. Ομοίως , [pic]. Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι βασικοί τύποι και κανόνες παραγώγισης.

|[pic] |[pic] | |[pic] | | |[pic] |[pic] | |[pic] | | |[pic] |[pic] | |[pic] | | |[pic] |[pic] | |[pic] | | | |[pic] |