Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Παράγωγος της f στο x = x0

Και τα δύο προηγούμενα προβλήματα, μολονότι αναφέρονται σε διαφορετικούς επιστημονικούς κλάδους, το πρώτο στη Γεωμετρία και το δεύτερο στη Μηχανική, οδηγούν στον υπολογισμό ενός ορίου της μορφής [pic]. Υπάρχουν όμως και πολλά άλλα προβλήματα διαφορετικής φύσεως, όπως, για παράδειγμα, είναι ο ορισμός της έντασης ενός ρεύματος, της ταχύτητας μιας χημικής αντίδρασης, του οριακού κόστους στην Οικονομία, τα οποία οδηγούν στον υπολογισμό ενός ορίου της ιδίας μορφής. Αν το προηγούμενο όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο [pic] του πεδίου ορισμού της. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x0, συμβολίζεται με [pic] και διαβάζεται "[pic] τονούμενο του [pic]". Έχουμε λοιπόν: [pic] Για παράδειγμα, αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της συνάρτησης [pic] στο σημείο 4, εργαζόμαστε ως εξής:

- Βρίσκουμε τη διαφορά [pic]: [pic] [pic] [pic] - Για [pic] βρίσκουμε το πηλίκο [pic]: [pic]. - Υπολογίζουμε το όριο [pic]: [pic]. Άρα, [pic]. Η παράγωγος της f στο [pic] εκφράζει το ρυθμό μεταβολής (rate of change) του [pic] ως προς το x, όταν [pic]. Έτσι, σύμφωνα με όσα εκθέσαμε στην προηγούμενη παράγραφο: Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο σημείο [pic] θα είναι [pic], δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της [pic] ως προς x όταν [pic]. Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση [pic] θα είναι τη χρονική στιγμή [pic] [pic], δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της [pic] ως προς t όταν [pic].

ΣΧΟΛΙΟ [pic] Υπάρχουν και συναρτήσεις οι οποίες δεν έχουν παράγωγο σε ένα σημείο. Όπως είναι, για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] στο [pic]. Διότι όταν [pic], έχουμε [pic][pic], ενώ όταν [pic], έχουμε [pic], που σημαίνει ότι δεν υπάρχει το [pic].