3.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

[pic] - Στην παράγραφο 4.4 είδαμε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [pic] και [pic] για κάθε [pic], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f , τις ευθείες [pic], [pic] και τον άξονα [pic] (Σχ. 16) είναι [pic] [pic] Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της [pic], τον άξονα [pic] και τις ευθείες [pic], [pic] (Σχ. 17) είναι ίσο με [pic]. - Έστω, τώρα, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [pic] με [pic] για κάθε [pic] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των [pic] και τις ευθείες [pic] και [pic] (Σχ. 18α). [pic] [pic] [pic] Παρατηρούμε ότι [pic]. (1) Επομένως, [pic] [pic] Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic] και [pic] (Σχ. 19) είναι ίσο με: [pic] [pic] [pic]. - Ο τύπος (1) βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι: (i) [pic] για κάθε [pic] και (ii) οι [pic] είναι μη αρνητικές στο [pic]. Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι ο τύπος (1) ισχύει και χωρίς την υπόθεση (ii). Πράγματι, επειδή οι συναρτήσεις [pic] είναι συνεχείς στο [pic], θα υπάρχει αριθμός [pic] τέτοιος ώστε [pic], για κάθε [pic]. Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. 20α) έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο [pic] (Σχ. 20β). [pic] [pic] Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (1), έχουμε: [pic]. Άρα, [pic] [pic] - Με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα [pic], τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, με [pic] για κάθε [pic] και τις ευθείες [pic] και [pic] (Σχ. 21). Πράγματι, επειδή ο άξονας [pic] είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic], έχουμε [pic] [pic]. Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει [pic] για κάθε [pic], τότε [pic] [pic] Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της [pic] και τον άξονα [pic] (Σχ. 22) είναι ίσο με [pic] [pic]. [pic] - Όταν η διαφορά [pic] δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [pic], όπως στο Σχήμα 23, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των [pic] και τις ευθείες [pic] και [pic] είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων [pic] και [pic]. Δηλαδή, [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic] Επομένως, [pic] Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic], [pic] και τις ευθείες [pic], [pic]. (Σχ. 24). Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της διαφοράς [pic] στο διάστημα [pic]. Επειδή [pic], έχουμε τον ακόλουθο πίνακα:

|x |[pic] | |[pic] | |0 | |1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |[pic] | |[pic] | |+ |0 |[pic] |0 | | | | |0 | | | | | | | | | | | | | |

Λαμβάνοντας, τώρα, υπόψη τον παραπάνω πίνακα, έχουμε [pic] [pic] [pic].

ΣΧΟΛΙΟ [pic] Σύμφωνα με τα παραπάνω το [pic] είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα [pic] μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα [pic] (Σχ. 25)