Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού

[pic] Έστω ο μιγαδικός [pic], που έχει μέτρο [pic]. Αν θ είναι ένα όρισμα του z, τότε, από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθοκανονικό σύστημα, έχουμε [pic] και [pic] οπότε [pic] και [pic] Επομένως, ο μιγαδικός [pic] γράφεται [pic], δηλαδή παίρνει τη μορφή [pic] Ο τρόπος αυτός γραφής του μιγαδικού [pic] λέγεται τριγωνομετρική ή πολική μορφή του [pic]. Για παράδειγμα, αν [pic], τότε το μέτρο του [pic] είναι [pic] και για κάθε όρισμά του [pic] ισχύουν: [pic] και [pic]. Επομένως, μια τιμή του ορίσματος είναι η [pic]. Άρα, έχουμε [pic] ή γενικότερα: [pic], [pic]. Αποδεικνύεται ότι, αν για έναν μιγαδικό αριθμό z ισχύει [pic], όπου [pic] και [pic], τότε η παράσταση [pic] είναι τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού [pic]. Επειδή ίσοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν την ίδια εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο και αντιστρόφως, έχουμε το ακόλουθο κριτήριο ισότητας μιγαδικών: "Δυο μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι, αν και μόνο αν έχουν ίσα μέτρα και η διαφορά των ορισμάτων τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π".

Δηλαδή: Αν [pic] και [pic] είναι τριγωνομετρικές μορφές των μιγαδικών [pic] και [pic], τότε: [pic]([pic] και [pic], [pic]).