ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση [pic] για να αποδείξετε ότι [pic][pic] ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα [pic].

2. i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα [pic] ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα [pic].

3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα [pic] και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα: i) [pic] ii) [pic].

4. Αν [pic], [pic], i) Να υπολογίσετε το άθροισμα [pic], [pic] ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα [pic], [pic], [pic].

5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [pic], να αποδείξετε ότι [pic].

6. Δίνεται η συνάρτηση [pic], όπου [pic]. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και F. ii) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή.

7. Δίνονται τα ολοκληρώματα [pic] και [pic], [pic]. i) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα [pic] και [pic] και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα [pic] και [pic]. ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα [pic] και [pic].

8. Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic] και την ευθεία [pic] χωρίζεται από την ευθεία [pic], [pic], σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Να βρείτε την τιμή του α.

9. i) Να βρεθεί το εμβαδόν [pic] του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic], τον άξονα των x και τις ευθείες [pic], [pic], [pic]. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε [pic]. iii) Να βρεθούν τα [pic] και [pic].

10. Έστω [pic] δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [pic]. Να αποδείξετε ότι: i) Αν [pic] για κάθε [pic], τότε [pic]. ii) Αν m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο [pic], τότε [pic] iii) Με τη βοήθεια της ανισότητας [pic] για κάθε [pic], να αποδείξετε ότι η συνάρτηση [pic], [pic] είναι γνησίως φθίνουσα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: α) [pic] για κάθε [pic] και β) [pic]. iv) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως φθίνουσα στο [pic] και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότητας [pic] για κάθε [pic], να αποδείξετε ότι: α) [pic] για κάθε [pic] και β) [pic].

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας. 1. Ισχύει [pic] Α Ψ 2. Ισχύει [pic] Α Ψ 3. Αν [pic], τότε [pic]. Α Ψ 4. Αν [pic], τότε κατ’ ανάγκη θα είναι [pic] για κάθε [pic]. 5. Αν [pic] για κάθε [pic], τότε [pic]. Α Ψ 6. Αν [pic], τότε κατ’ ανάγκη θα είναι [pic] για κάθε [pic]. Α Ψ 7. [pic], για κάθε [pic]. Α Ψ 8. [pic]. Α Ψ 9. [pic]. Α Ψ 10. [pic][pic]. Α Ψ 11. Αν [pic] τότε [pic]. Α Ψ 12. Αν [pic], τότε [pic] για κάποιο [pic]. Α Ψ 13. Αν [pic] και η f δεν είναι παντού μηδέν στο [pic], τότε η f παίρνει δυο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές. Α Ψ 14. Το ολοκλήρωμα [pic] παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic] και τον άξονα των x. Α Ψ ΙΙ. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση 1. Αν [pic] και [pic], τότε το [pic] ισούται με Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. 2. Το ολοκλήρωμα [pic] στο [pic] είναι ίσο με Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. 3. Το ολοκλήρωμα [pic] στο [pic] είναι ίσο με Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic], Ε) [pic]. 4. Το ολοκλήρωμα [pic] είναι ίσο με Α) [pic], Β) 0, Γ) [pic], Δ) [pic], Ε) [pic]. 5. Το ολοκλήρωμα [pic] είναι ίσο με Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. 6. Έστω [pic] δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους στο [pic]. Αν [pic] για κάθε [pic], τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει: Α) [pic], [pic], Β) [pic] Γ)[pic] ,[pic], Δ) [pic]. [pic] 7. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος είναι ίσο με Α) [pic], Β) [pic]. Γ) [pic], Δ) [pic]. 8. Αν [pic] για κάθε [pic] και [pic], τότε για κάθε [pic] ισχύει: Α) [pic], Β) [pic]. Γ) [pic],[pic] Δ) Οι [pic],[pic] έχουν κοινό σημείο στο [pic]. [pic] 9. Έστω η συνάρτηση [pic] όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος. Τότε η [pic] είναι ίση με Α) 0, Β) 1, Γ) 2, Δ) [pic]. [pic] 10. Έστω η συνάρτηση f του διπλανού σχήματος. Aν [pic],[pic] και [pic] τότε το [pic] είναι ίσο με Α) 6, Β) [pic], Γ) 4, [pic] Δ) 0, Ε) 2. 11. Έστω η συνάρτηση [pic], όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος. Τότε Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. ΙΙΙ. 1. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα αντιπροσωπεύει τη γραφική παράσταση μιας λύσης της διαφορικής εξίσωσης [pic], με [pic]. [pic] [pic] [pic] (Α) (Β) (Γ) [pic] [pic] (Δ) (Ε) 2. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα; Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic] Δ) [pic], Ε) [pic], Δ) [pic]. 3. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις: [pic] [pic] [pic]. Άρα [pic], οπότε [pic]! 4. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις [pic] [pic]. (Θέσαμε[pic] οπότε [pic]. Άρα [pic] οπότε [pic]. Αυτό, όμως, είναι άτοπο, αφού [pic], επειδή [pic] για κάθε [pic]. [pic] 5. Θεωρούμε τη συνάρτηση [pic], όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήματος. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά. [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].