ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: i) [pic], [pic] ii) [pic], [pic] iii) [pic] iv) [pic].

2. Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic].

3. Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης [pic], [pic], της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο [pic].

4. Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης [pic] που ικανοποιεί τη συνθήκη [pic].

5. Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: i) [pic], αν [pic] ii) [pic], αν [pic].

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Ι σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα ικανοποιεί την εξίσωση [pic]. Αν [pic], να βρείτε την ένταση [pic].

2. Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης [pic], η οποία διέρχεται από το σημείο [pic].

3. Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση [pic].

4. Η κλίση της εφαπτομένης μιας γραμμής [pic] με εξίσωση [pic], [pic] στο σημείο [pic] είναι ίση με [pic]. Να βρείτε την εξίσωση της [pic], αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από το σημείο [pic].

5. Έστω [pic] σταθερές, με [pic]. i) Να λύσετε την εξίσωση [pic]. ii) Αν [pic] είναι μια λύση της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ισχύει [pic].

6. Έχει αποδειχτεί πειραματικά ότι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας θ ενός σώματος, όταν αυτό βρεθεί σε περιβάλλον σταθερής θερμοκρασίας Τ με [pic], είναι [pic], [pic]. Να βρείτε τη θερμοκρασία [pic], αν [pic].

7. Ο πληθυσμός [pic] μιας χώρας μεταναστεύει με σταθερό ρυθμό [pic]. Δίνεται ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού Ρ, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση, θα ήταν ανάλογος του Ρ. i) Να δικαιολογήσετε ότι ο πληθυσμός Ρ ικανοποιεί την εξίσωση [pic], [pic] σταθερά. ii) Να βρείτε τη συνάρτηση [pic], αν [pic] iii) Να αποδείξετε ότι: - Αν [pic], τότε ο πληθυσμός αυξάνεται. - Αν [pic], τότε ο πληθυσμός μειώνεται. - Αν [pic], τότε ο πληθυσμός παραμένει σταθερός.

8. Έστω [pic] το ύψος και [pic] ο όγκος του νερού μιας δεξαμενής τη χρονική στιγμή t. Η δεξαμενή αδειάζει από μια κυκλική οπή εμβαδού α που βρίσκεται στον πυθμένα της. Σύμφωνα με το νόμο του Torricelli ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού είναι [pic] [pic], [pic]m/s2. i) Αν η δεξαμενή είναι κυλινδρική με ύψος 3,6m, ακτίνα 1m και η ακτίνα της οπής είναι 0,1m, να αποδείξετε ότι το y ικανοποιεί την εξίσωση [pic] ii) Να βρείτε το ύψος [pic], αν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή [pic] η δεξαμενή ήταν γεμάτη. iii) Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αδειάσει τελείως η δεξαμενή; -Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι [pic]). [pic]

9. Ένας βηματοδότης αποτελείται από μια μπαταρία και έναν πυκνωτή, ενώ η καρδιά παίζει το ρόλο της αντίστασης, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν ο διακόπτης S βρίσκεται στη θέση Ρ, ο πυκνωτής φορτίζεται ενώ, όταν βρίσκεται στη θέση Q, ο πυκνωτής εκφορτίζεται και προκαλεί ηλεκτρικό ερέθισμα στην καρδιά. Κατά τη διάρκεια αυτή στην καρδιά εφαρμόζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε που ικανοποιεί την εξίσωση [pic], [pic]. όπου [pic] σταθερές. Να βρείτε την [pic], αν [pic]. [pic] 10. Σύμφωνα με τον κανόνα του Κirchhoff για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος ισχύει [pic]. i) Αν [pic], [pic], [pic], α) να βρείτε την ένταση [pic] του ρεύματος, t sec μετά το κλείσιμο του κυκλώματος. β) να βρείτε το [pic]. Τι συμπεραίνετε; ii) Αν στο κύκλωμα αντί για μπαταρία που δίνει σταθερή ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε χρησιμοποιήσουμε μια γεννήτρια που δίνει [pic], να βρείτε την ένταση [pic].