Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic] v) [pic] vi) [pic] vii) [pic].

2. Nα βρείτε τη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημα [pic], για την οποία ισχύει [pic] και [pic].

3. Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει [pic], [pic] και [pic].

4. Να βρείτε τη συνάρτηση [pic], για την οποία ισχύει [pic] και η γραφική της παράσταση στο σημείο της [pic] έχει κλίση 3.

5. Ο πληθυσμός [pic], σε εκατομμύρια, μιας κοινωνίας βακτηριδίων, αυξάνεται με ρυθμό [pic] ανά λεπτό. Να βρείτε την αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά.

6. Μια βιομηχανία έχει διαπιστώσει ότι για εβδομαδιαία παραγωγή x εξαρτημάτων έχει οριακό κόστος [pic] (χιλιάδες δραχμές ανά μονάδα προϊόντος). Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας παραγωγής, αν είναι γνωστό ότι τα σταθερά εβδομαδιαία έξοδα της βιομηχανίας, όταν δεν παράγει κανένα εξάρτημα, είναι 100 (χιλιάδες δραχμές).

7. Μια νέα γεώτρηση εξώρυξης πετρελαίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνεται από τον τύπο [pic], όπου [pic] είναι ο αριθμός, σε χιλιάδες, των βαρελιών που αντλήθηκαν στους t πρώτους μήνες λειτουργίας της. Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 8 πρώτους μήνες λειτουργίας της.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Η θερμοκρασία Τ ενός σώματος, που περιβάλλεται από ένα ψυκτικό υγρό, ελαττώνεται με ρυθμό [pic], όπου α, κ είναι θετικές σταθερές και t ο χρόνος. Η αρχική θερμοκρασία [pic] του σώματος είναι [pic], όπου [pic] η θερμοκρασία του υγρού η οποία με κατάλληλο μηχάνημα διατηρείται σταθερή. Να βρείτε τη θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή t.

2. Ένας βιομήχανος, ο οποίος επενδύει x χιλιάδες δραχμές στη βελτίωση της παραγωγής του εργοστασίου του, αναμένει να έχει κέρδος [pic]. χιλιάδες δραχμές από αυτή την επένδυση. Μια ανάλυση της παραγωγής έδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους [pic], που οφείλεται στην επένδυση αυτή, δίνεται από τον τύπο [pic]. Να βρείτε το συνολικό κέρδος που οφείλεται σε αύξηση της επένδυσης από 4000000 σε 6000000 δραχμές.

3. Από την πώληση ενός νέου προϊόντος μιας εταιρείας διαπιστώθηκε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους [pic] δίνεται από τον τύπο [pic] (σε χιλιάδες δραχμές την ημέρα), ενώ ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης [pic] στο τέλος των t ημερών δίνεται από τον τύπο [pic] (σε χιλιάδες δραχμές την ημέρα). Να βρείτε το συνολικό κέρδος της εταιρείας από την τρίτη έως και την έκτη ημέρα παραγωγής.

4. Έστω [pic] δύο συναρτήσεις με [pic], [pic] και [pic] για κάθε [pic]. Να αποδείξετε ότι: i) [pic], για κάθε [pic]. ii) Αν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζες [pic] με [pic], τότε η συνάρτηση f έχει μια τουλάχιστον, ρίζα στο [pic].