Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. H παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι [pic]. Για ποιές τιμές του x η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιες παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο;

2. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic]. β) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων: [pic], [pic], [pic].

3. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) [pic] ii) [pic].

4. Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) [pic] ii) [pic], [pic].

5. Να βρείτε τις τιμές των [pic] για τις οποίες η συνάρτηση [pic] παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία [pic] και [pic]. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων.

6. Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σχήματος ορθογωνίου με εμβαδό 400m2, το τετράγωνο χρειάζεται τη μικρότερη περίφραξη.

7. Με συρματόπλεγμα μήκους 80m θέλουμε να περιφράξουμε οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου. Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

8. Μία ώρα μετά τη λήψη x mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση [pic], [pic]. Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς x, να γίνει μέγιστος. [pic]

9. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά 2cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ, i) να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του x. ii) να βρείτε το x έτσι, ώστε το εμβαδόν [pic] του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο.

10. Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι [pic] χιλιάδες δραχμές, [pic]. Η είσπραξη από την πώληση των x μονάδων είναι [pic] χιλιάδες δραχμές. Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση [pic], [pic] i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] έχει ακριβώς μία ρίζα στο [pic].

2. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση [pic] και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση [pic] iii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic] και [pic] έχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη.

3. Να αποδείξετε ότι για κάθε [pic] ισχύει i) α) [pic] ii) α) [pic] β) [pic] β) [pic] iii) α) [pic] , [pic] με [pic] β) [pic] , [pic] με [pic].

4. Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο [symbol], ισχύει [pic], τότε η f δεν έχει ακρότατα. [pic]

5. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων [pic] σ’ ένα διάστημα [pic]. Το σημείο [pic] είναι το σημείο στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση [pic] μεταξύ των [pic] και [pic] παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των [pic] και [pic] στα σημεία [pic] και [pic] είναι παράλληλες.

6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση [pic], με [pic] έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.

7. Με ένα σύρμα μήκους 4m κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς x m και ένα τετράγωνο πλευράς y m. i) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων συναρτήσει της πλευράς x του ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Για ποια τιμή του x το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο.

8. Δίνεται η συνάρτηση [pic] και το σημείο [pic]. i) Να βρείτε το σημείο Μ της [pic] που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση. ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της [pic] στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ. [pic]

9. Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασικού αθλητισμού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ημικύκλια. Αν η περίμετρος του στίβου είναι 400m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου μέρους να γίνει μέγιστο.

10. Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον 100 ατόμων. Αν δηλώνουν ακριβώς 100 άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε 100 χιλιάδες δραχμές το άτομο. Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 500 δρχ. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε να έχουμε τα περισσότερα έσοδα. [pic]

11. Έστω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήματος. Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή [pic] είναι [pic]cm και [pic]cm και ότι για [pic] η ακτίνα [pic] αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,05cm/s, ενώ η ακτίνα [pic] αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,04 cm/s. Να βρείτε: i) πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii) πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου. [pic]

12. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ φαίνεται στο διπλανό σχήμα. i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της διατομής ΑΒΓΔ είναι ίσο με [pic] ii) Για ποια τιμή του θ το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται; [pic]

13. Ένας κολυμβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα 100ft(1) μακριά από το πλησιέστερο σημείο Α μιας ευθύγραμμης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται 300ft μακρυά από το σημείο Α. Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί να κολυμβήσει με ταχύτητα 3ft/s και να τρέξει στην ακτή με ταχύτητα 5ft/s. i) Να αποδείξετε ότι για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ του διπλανού σχήματος χρειάζεται χρόνο [pic]. ii) Για ποια τιμή του x o κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του; [pic]

14. Ένας εργολάβος επιθυμεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόμο που συνδέει δύο εργοστάσια [pic] και [pic] τα οποία βρίσκονται σε απόσταση 12km και εκπέμπουν καπνό με παροχές Ρ και [pic] αντιστοίχως. Αν η πυκνότητα του καπνού σε μια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση x από το εργοστάσιο [pic] πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση. (Παροχή καπνού μιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέμπεται από την καπνοδόχο στη μονάδα του χρόνου).