ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν για τις συναρτήσεις [pic] ισχύουν: [pic] και [pic] για κάθε [pic], να αποδείξετε ότι η συνάρτηση [pic] είναι σταθερή.

2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic]

3. Ομοίως των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic]

4. Ομοίως των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic], [pic].

5. Δίνονται οι συναρτήσεις [pic] και [pic]. i) Να αποδείξετε ότι οι [pic] είναι γνησίως αύξουσες. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών τους. iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: [pic] και [pic] έχουν ακριβώς μία ρίζα την [pic].

6. Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως αύξουσα. ii) Η εξίσωση [pic] έχει ακριβώς μία λύση την [pic].

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σ’ όλο το [symbol] ισχύει [pic] για όλα τα [pic], να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

2. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [pic]. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [pic]. iii) Αν [pic], να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα [pic].

3. Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση: [pic], [pic]. Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού και στη συνέχεια να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα: i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα μηδέν; ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά; iii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη;

4. Η τιμή V (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την παραγωγή του, δίνεται από τον τύπο [pic]. Να αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται χωρίς, όμως, η τιμή του να μπορεί να γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής τιμής του.

5. Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολο των τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά. ii) Η εξίσωση [pic] είναι ισοδύναμη με την [pic] και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε [pic].

6. Να βρείτε τις τιμές του [pic] για τις οποίες η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως αύξουσα στο [symbol].

7. Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως αύξουσα στο κλειστό διάστημα [pic]. ii) [pic], για κάθε [pic]. iii) Η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστημα [pic].

8. Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση [pic], [pic] είναι γνησίως αύξουσα. ii) [pic], για κάθε [pic].