Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα που αναφέρεται, και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα [pic] για τα οποία ισχύει [pic]. i) [pic], [pic] ii) [pic], [pic] iii) [pic], [pic] iv) [pic], [pic].

2. Να εξετάσετε, ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα που αναφέρεται και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, να βρείτε όλα τα [pic] για τα οποία ισχύει [pic]. i) [pic], [pic] ii) [pic], [pic] iii) [pic], [pic]

3. Αν [pic], να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις [pic] και [pic] ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [pic] και στη συνέχεια ότι: [pic] και [pic]. Για τη συνάρτηση [pic] υποθέτουμε επιπλέον ότι [pic].

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση [pic] i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα [pic] και μια, τουλάχιστον, στο διάστημα [pic]. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα [pic].

2. Δίνεται η συνάρτηση [pic]. Να αποδείξετε ότι: i) Η εξίσωση [pic] έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διάστημα [pic]. ii) Η εξίσωση [pic] έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διάστημα [pic]

3. i) Δίνεται μια συνάρτηση f με [pic] για κάθε [pic]. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] αληθεύει μόνο για [pic].

4. i) Να αποδείξετε ότι [pic], για κάθε [pic]. ii) Αν f είναι μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [pic], με [pic], να αποδείξετε ότι για όλα τα [pic] ισχύει: [pic].

5. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [pic] και ισχύει [pic] για κάθε [pic]. Αν [pic], να αποδείξετε ότι [pic].

6. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [pic] και ισχύει [pic] για κάθε [pic]. Αν [pic] και [pic], να αποδείξετε ότι [pic], εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [pic] και [pic].

7. Να αποδείξετε με το θεώρημα του Rolle ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic] και [pic] έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία τα [pic], [pic].