ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο [pic], όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν [pic]sec. (Θυμηθείτε ότι [pic] και [pic]).

2. Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό 100cm3/sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή [pic], που αυτή είναι ίση με 9cm;

3. Το κόστος παραγωγής, [pic], και η τιμή πώλησης, [pic], x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις [pic] και [pic] αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, [pic], είναι θετικός. [pic]

4. Δύο πλοία [pic] και [pic] αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ. Το πλοίο [pic] κινείται ανατολικά με ταχύτητα 15km/h και το [pic] βόρεια με ταχύτητα 20km/h. i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των [pic] και [pic] ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση [pic] των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε.

5. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης [pic], [pic]. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι [pic] για κάθε [pic].

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 10cm2/sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν [pic]cm.

2. Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία [pic], [pic] και [pic], με [pic]. Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 4cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν [pic]cm. [pic] [pic]

3. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα 3m/s. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y. [pic]

4. Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση 100m από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 50m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλόνι βρίσκεται σε ύψος 100m.

5. Μία γυναίκα ύψους 1,60m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8m με ταχύτητα 0,8m/s. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της; [pic]

6. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της καμπύλης [pic], [pic] πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο [pic] να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη [pic]. [pic] 7. Μία σκάλα μήκους 3m είναι τοποθετημένη σ’ έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει στο δάπεδο με ρυθμό 0,1m/sec. Τη χρονική στιγμή [pic], που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο 2,5m, να βρείτε: i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ (Σχήμα). ii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας.

8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση [pic]. Καθώς περνάει από το σημείο [pic], η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 3 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α.