Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic].

2. Ομοίως των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic] v) [pic].

3. Ομοίως των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic].

4. Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic].

5. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των x, όταν i) [pic] ii) [pic] iii) [pic].

6. Αν [pic] και [pic], να βρείτε τις συναρτήσεις [pic]. Ισχύει [pic];

7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων [pic] και [pic] στο κοινό σημείο τους [pic], είναι κάθετες.

8. Δίνεται η συνάρτηση [pic], [pic]. Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η κλίση της [pic] στο σημείο της [pic] είναι ίση με [pic].

9. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης [pic], στα οποία η εφαπτομένη είναι: i) παράλληλη προς την ευθεία [pic] ii) κάθετη προς την ευθεία [pic].

10. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της [pic] η οποία άγεται από το σημείο [pic].

11. Δίνεται η συνάρτηση [pic], [pic]. Να βρείτε τις τιμές των [pic] για τις οποίες η [pic], διέρχεται από το σημείο [pic] και εφάπτεται της ευθείας [pic] στην αρχή των αξόνων.

12. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic] v) [pic].

13. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο [pic] όταν: i) [pic], [pic] ii) [pic], [pic] iii) [pic], [pic] iv) [pic] , [pic].

14. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic], [pic] iv) [pic] 15. Αν [pic], να αποδείξετε ότι [pic].

B΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic] και [pic] έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο οι εφαπτομένες τους είναι κάθετες.

2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία [pic] έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic] δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά.

3. Δίνονται οι συναρτήσεις [pic] και [pic]. Να βρείτε τα [pic] για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη [pic].

4. Δίνονται οι συναρτήσεις [pic] και [pic]. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της [pic] στο σημείο [pic] εφάπτεται και στην [pic]. 5. Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε [pic], [pic], [pic] και [pic].

6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο f δεύτερου βαθμού του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών [pic] και [pic] στα σημεία [pic] και [pic] αντιστοίχως.

7. Αν μία συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο σημείο [pic], να αποδείξετε ότι i) [pic] ii) [pic].

8. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης [pic], [pic], στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των x.

9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) [pic], ii) [pic] και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης της [pic] στο [pic] σε καθεμιά περίπτωση χωριστά.

10. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο [pic] συνάρτηση για την οποία ισχύει [pic] και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα [pic], [pic]. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της [pic] στο [pic] εφάπτεται της [pic] στο [pic].

11. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει [pic], για κάθε [pic] i) Να βρείτε την [pic] ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της [pic] στο σημείο [pic] σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.