ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο [pic] όταν: i) [pic], [pic] ii) [pic], [pic] iii) [pic], [pic] iv) [pic], [pic] v) [pic], [pic].

2. Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic].

3. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής [pic] στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic]; [pic] 4. Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης f του διπλανού σχήματος. [pic] 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση [pic], η οποία είναι συνεχής, με [pic], και της οποίας η παράγωγος παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήμα.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση [pic], είναι παραγωγίσιμη στο [pic].

2. Έστω η συνάρτηση [pic] και το σημείο [pic], [pic] της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία [pic] και [pic] εφάπτεται της [pic] στο Α.

3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της [pic] σε οποιοδήποτε σημείο της [pic], [pic] έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση της [pic] είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ.

4. Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης [pic] σε ένα σημείο της [pic]. Αν [pic] είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες [pic] και [pic] αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ. ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του [pic].