Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. [pic] [pic]

2. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο [pic] τις παρακάτω συναρτήσεις: i) [pic] , αν [pic] ii) [pic], αν [pic] iii) [pic], αν [pic].

3. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic].

4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις i) [pic] ii) [pic].

5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic] v) [pic]

6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα [pic].

7. Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f, να βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα [pic] η εξίσωση [pic] να έχει μία τουλάχιστον ρίζα i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic].

8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic], όπου [pic] και [pic], έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα [pic] και μια στο [pic].

9. Να βρείτε το πρόσημα της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x, όταν: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic], [pic] iv) [pic], [pic].

10. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων i) [pic], [pic] ii) [pic], [pic] iii) [pic], [pic] iv) [pic], [pic].

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν [pic], να προσδιορίσετε το κ, ώστε η f να είναι συνεχής στο [pic].

2. Αν [pic], να βρείτε τις τιμές των [pic] για τις οποίες η f να είναι συνεχής στο [pic].

3. i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [pic]. Να βρείτε το [pic], αν για κάθε [pic] ισχύει [pic]. ii) Ομοίως, να βρείτε το [pic] για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο [pic] και για κάθε [pic] ισχύει [pic].

4. Αν οι συναρτήσεις [pic] είναι ορισμένες και συνεχείς στο [pic] και πληρούν τις σχέσεις [pic] και [pic], να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [pic] τέτοιο ώστε [pic].

5. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: α) [pic] β) [pic] έχουν μια, τουλάχιστον, ρίζα στο [pic].

6. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο i) [pic] και [pic] ii) [pic] και [pic]

7. i) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [pic], για την οποία ισχύει [pic] για κάθε [pic]. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης [pic]. β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα [pic]. γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση; ii) Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο σύνολο [pic], για την οποία ισχύει [pic] [pic] για κάθε [pic].

8. Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [pic] συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου και [pic] ii) Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η [pic] τέμνει και τις δύο διαγώνιες.

9. Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι συνεχής στο [pic] και το [pic] είναι ένα σημείο του επιπέδου, i) Να βρείτε τον τύπο της απόστασης [pic] του σημείου [pic] από το σημείο [pic] της [pic] για κάθε [pic]. ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [pic] και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της [pic] που απέχει από το [pic] λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της [pic] που απέχει από το [pic] περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας. 1. Αν [pic] και [pic], τότε α) [pic], [pic] Α Ψ β) [pic], [pic] Α Ψ 2. Αν [pic], τότε [pic]. A Ψ 3. Είναι [pic]. A Ψ 4. Αν [pic] για κάθε [pic] και υπάρχει το [pic], τότε κατ' ανάγκη [pic]. 5. Ισχύει: α) [pic] Α Ψ β) [pic]. Α Ψ 6. Αν [pic] κοντά στο 0, τότε [pic]. Α Ψ 7. Αν [pic], [pic], τότε κατ’ ανάγκη θα είναι [pic]. Α Ψ 8. Αν υπάρχει το [pic], τότε είναι ίσο με [pic]. Α Ψ 9. Αν [pic], τότε κατ’ ανάγκη θα είναι [pic] ή [pic]. Α Ψ 10.Αν [pic], τότε [pic]. Α Ψ 11. Αν η f είναι συνεχής στο [pic] και για [pic] ισχύει [pic], τότε το [pic] είναι ίσο με 1. Α Ψ 12. Αν η f είναι συνεχής στο [pic] και [pic], [pic], τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός [pic] τέτοιος, ώστε [pic]. ΙΙ. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις 1. Αν [pic], [pic], [pic] και [pic] κοντά στο [pic], τότε κατΆ ανάγκη θα είναι: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic] Ε) [pic]. 2. Το όριο [pic] είναι ίσο με: Α) 8 Β) 1 Γ) 0 Δ) [pic] Ε) [pic]. 3. Το [pic] είναι ίσο με: Α) [pic] Β) [pic] Γ) 1 Δ) [pic] Ε) 0. 4. Αν το [pic] δεν υπάρχει, τότε: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic]. ΙΙΙ. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις [pic] και [pic]. Από τους Παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο: Α) η g είναι συνεχής στο 2 Β) η f είναι συνεχής στο 1 Γ) η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής Δ) [pic]. 2. Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα; Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic] Ε) [pic] ΣΤ) [pic]. 3. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [pic], με [pic], [pic] και [pic]. Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ’ ανάγκη από τις υποθέσεις; Α) Υπάρχει [pic] τέτοιος, ώστε [pic]. Β) [pic]. Γ) [pic]. Δ) [pic]. Ε) Η μέγιστη τιμή της f στο [pic] είναι το 2 και η ελάχιστη τιμή της το [pic].