ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Δίνεται ο πίνακας [pic]. Να αποδείξετε ότι i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] για κάθε [pic].

2. Δίνεται ο πίνακας [pic]. i) Να αποδείξετε ότι [pic] και γενικά [pic] για κάθε [pic]. ii) Αν [pic] και [pic], [pic], τότε να βρείτε το γινόμενο ΑΒ και να αποδείξετε ότι [pic].

3. Αν [pic] και [pic] τότε να αποδείξετε ότι: i) [pic] ii) Το άθροισμα και το γινόμενο πινάκων της μορφής [pic], όπου α,β πραγματικοί αριθμοί είναι επίσης πίνακες της ίδιας μορφής. iii) Ο πίνακας [pic] έχει αντίστροφο, αν και μόνο αν [pic]. [pic]

4. Να αποδείξετε ότι η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία ε του διπλανού σχήματος είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα [pic]. Μπορείτε από τον πίνακα Α να βρείτε τους πίνακες των συμμετριών ως προς τον άξονα [pic], τον άξονα [pic], την ευθεία [pic] και την ευθεία [pic];

5. Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός [pic], με [pic]. i) Να αποδείξετε ότι ο Τ είναι συνάρτηση [pic]. ii) Να βρείτε τον αντίστροφο του μετασχηματισμού Τ. iii) Να βρείτε τους αντίστροφους μετασχηματισμούς των συμμετριών της στροφής και της ομοιοθεσίας.

6. Να λύσετε το σύστημα: [pic], [pic].

7. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του [pic] το σύστημα: [pic].

8. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του [pic] τις σχετικές θέσεις των ευθειών [pic], [pic] [pic].

9. Να λύσετε το σύστημα: [pic], [pic].

10. Έστω ο πίνακας [pic]. Αν υπάρχουν μη μηδενικός πίνακας [pic] και πραγματικός αριθμός λ τέτοιοι, ώστε να ισχύει [pic], να αποδείξετε ότι [pic].

11. i) Να λύσετε το σύστημα: [pic], [pic]. ii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι εξισώσεις: [pic] [pic] έχουν κοινή ρίζα. Ποια είναι η κοινή ρίζα σε κάθε μια περίπτωση; [pic][pic]

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας. 1. Αν [pic], [pic], τότε [pic]. Α Ψ 2. Αν [pic], [pic], τότε κατ’ ανάγκη είναι [pic]. Α Ψ 3. Αν [pic], [pic], τότε [pic]. Α Ψ 4. Αν [pic], όπου [pic] τετραγωνικοί πίνακες, τότε οι [pic] είναι αντιστρέψιμοι πίνακες. Α Ψ 5. Αν [pic], όπου [pic] τετραγωνικοί πίνακες, τότε [pic]. Α Ψ 6. Αν [pic] τότε κατ’ ανάγκη θα είναι [pic]. Α Ψ 7. Αν [pic] τότε κατ’ ανάγκη θα είναι [pic] ή [pic]. Α Ψ 8. Αν [pic] τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος. Α Ψ 9. Ισχύει πάντοτε [pic]. Α Ψ 10. Αν [pic], τότε κατ’ ανάγκη θα είναι [pic]. Α Ψ 11. Ο αντίστροφος του πίνακα [pic] είναι ο πίνακας [pic]. 12. Τα συστήματα [pic] και [pic] είναι ισοδύναμα. Α Ψ 13. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δυο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρες λύσεις. Α Ψ 14. Ένα ομογενές σύστημα μπορεί να είναι αδύνατο. Α Ψ 15. Το σύστημα [pic] έχει και μη μηδενικές λύσεις. Α Ψ 16. Αν η εξίσωση [pic], με [pic],είναι αδύνατη στο [symbol], τότε το σύστημα [pic] έχει μοναδική λύση. 17. Το σύστημα [pic], [pic], είναι αδύνατο. Α Ψ 18. Έστω (Σ) ένα [pic] γραμμικό σύστημα. Α Ψ i) Αν [pic], τότε το σύστημα είναι ομογενές. Α Ψ ii) Αν [pic], τότε το σύστημα είναι ομογενές. ΙΙ. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις 1. Ο πίνακας [pic] είναι ο μοναδιαίος, αν Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. 2. Έστω Α ένας [pic] πίνακας. Αν υπάρχει πίνακας Χ τέτοιος, ώστε [pic], τότε ο Χ είναι τύπου Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. 3. Έστω Α ένας αντιστρέψιμος πίνακας και [pic]. Ο αντίστροφος του πίνακα κΑ είναι ο πίνακας Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. 4. Το σύστημα [pic] είναι αδύνατο, αν Α) [pic], Β) [pic], Γ) [pic], Δ) [pic]. 5. Οι ευθείες [pic], [pic], [pic]. Α) Περνούν από το ίδιο σημείο. Β) Σχηματίζουν τρίγωνο. Γ) Είναι παράλληλες ανά δύο. Δ) Οι δύο είναι παράλληλες και η τρίτη τις τέμνει. Ε) Οι δύο συμπίπτουν και η τρίτη τις τέμνει. ΙΙΙ. Να αντιστοιχίσετε κάθε μετασχηματισμό της πρώτης στήλης στον πίνακά του της δεύτερης στήλης ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΠΙΝΑΚΑΣ |α. [pic] | |β. [pic] | |γ. [pic] | |δ. [pic] | |ε. [pic] |

1. Στροφή κατά γωνία [pic] και στη συνέχεια συμμετρία ως προς την ευθεία [pic]. 2. Συμμετρία ως προς τον άξονα [pic] και στη συνέχεια συμμετρία ως προς την ευθεία [pic]. 3. Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων και στη συνέχεια συμμετρία ως προς την ευθεία [pic].