"Institute of Educational Policy" Books
Το Κριτήριο της Δεύτερης Παραγώγου
[pic] - Έστω μια συνάρτηση f, της οποίας η καμπύλη είναι μία παραβολή και η οποία για [pic] παρουσιάζει μέγιστο. Τότε, για τιμές κοντά στο [pic], η συνάρτηση είναι αύξουσα για [pic] και φθίνουσα για [pic]. Αυτό σημαίνει ότι η [pic] από θετική γίνεται αρνητική, δηλαδή είναι φθίνουσα συνάρτηση. Αφού λοιπόν η [pic] είναι φθίνουσα, η παράγωγός της, δηλαδή η [pic] θα είναι αρνητική. Επομένως, [pic]. [pic]
- Έστω τώρα η συνάρτηση f, της οποίας η καμπύλη είναι μια παραβολή και η οποία για [pic] παρουσιάζει ελάχιστο. Τότε, για τιμές του x κοντά στο [pic], η συνάρτηση είναι φθίνουσα για [pic] και αύξουσα για [pic]. Αυτό σημαίνει ότι η [pic] από αρνητική γίνεται θετική, δηλαδή είναι αύξουσα συνάρτηση. Άρα, η παράγωγος της [pic], δηλαδή η [pic] θα είναι θετική. Επομένως, [pic]. Αποδεικνύεται ότι: - Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν [pic] και [pic], τότε η f παρουσιάζει (τοπικό) μέγιστο στο [pic]. - Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν [pic] και [pic], τότε η f παρουσιάζει (τοπικό) ελάχιστο στο [pic].
ΣΧΟΛΙΟ Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν [pic] και [pic], τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο της 2ης παραγώγου για τον προσδιορισμό των ακροτάτων της f.