1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Εφαπτομένη Καμπύλης

[pic] Από τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη ενός κύκλου [pic] σε ένα σημείο του Α είναι η ευθεία ε που είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΑ στο σημείο Α. Έστω Μ ένα άλλο σημείο του κύκλου. Επειδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ορθογώνιο στο Μ, το άθροισμα των γωνιών του Α και Β είναι [pic]. Αν υποθέσουμε ότι το Μ κινούμενο πάνω στον κύκλο πλησιάζει το Α, η γωνία Β τείνει να γίνει μηδενική, οπότε η γωνία Α τείνει να γίνει ορθή. Δηλαδή η τέμνουσα ΑΜ τείνει να γίνει κάθετη στην ΟΑ που σημαίνει ότι τείνει να συμπέσει με την εφαπτομένη ε. Θα μπορούσαμε επομένως να ορίσουμε ως εφαπτομένη του κύκλου [pic] στο σημείο Α, την οριακή θέση της τέμνουσας ΑΜ, καθώς το Μ κινούμενο πάνω στον κύκλο τείνει να συμπέσει με το Α. [pic] Τον ισοδύναμο αυτό ορισμό της εφαπτομένης ενός κύκλου θα τον χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια για να ορίσουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της. Έστω λοιπόν f μια συνάρτηση και [pic] ένα σημείο της γραφικής της παράστασης C. Παίρνουμε και ένα άλλο σημείο [pic] της C με [pic]. Παρατηρούμε ότι καθώς το Μ κινούμενο πάνω στη C πλησιάζει το Α, όταν δηλαδή [pic], τότε η ευθεία ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε η οποία λέγεται εφαπτομένη (tangent) της C στο Α. Από το σχήμα έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΜ είναι [pic], οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α θα είναι [pic].