Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος

[pic] Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [pic]. Με τα σημεία [pic] χωρίζουμε το διάστημα [pic] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους [pic]. Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα [pic], για κάθε [pic], και σχηματίζουμε το άθροισμα [pic] το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: [pic](1) . Αποδεικνύεται ότι, "Το όριο του αθροίσματος [pic], δηλαδή το [pic] (1) υπάρχει στο [symbol] και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων [pic]". Το παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με [pic] και διαβάζεται "ολοκλήρωμα της f από το α στο β". Δηλαδή, [pic] Το σύμβολο [pic]οφείλεται στον Leibniz και ονομάζεται σύμβολο ολοκλήρωσης. Αυτό είναι επιμήκυνση του αρχικού γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα). Οι αριθμοί α και β ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης. Η έννοια "όρια" εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του 2ου κεφαλαίου. Στην έκφραση [pic] το γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. Έτσι, για παράδειγμα, οι εκφράσεις [pic], [pic] συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός, σε αντίθεση με το [pic] που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. Είναι, όμως, χρήσιμο να επεκτείνουμε τον παραπάνω ορισμό και για τις περιπτώσεις που είναι [pic] ή [pic], ως εξής:

| [pic] | | [pic] | [pic]

Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι: Αν [pic] για κάθε [pic], τότε το ολοκλήρωμα [pic] δίνει το εμβαδόν [pic] του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα [pic] και τις ευθείες [pic] και [pic] (Σχ. 11). Δηλαδή, [pic]. Επομένως, |Αν [pic], τότε [pic]. |