Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

3.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Γενικά

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι, όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση θέσης [pic] ενός κινητού, μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού. Πολλές φορές, όμως, είναι γνωστή η ταχύτητα [pic] ή η επιτάχυνση [pic] του κινητού και ζητείται η θέση του. Για παράδειγμα: - Αν ένα κινητό κινείται ευθυγράμμως με σταθερή ταχύτητα c, για να προσδιορίσουμε τη θέση του [pic], αρκεί να λύσουμε ως προς y την εξίσωση [pic]. (1) - Αν σε ένα σώμα μάζας m ασκείται δύναμη [pic], τότε το σώμα κινείται με επιτάχυνση [pic] η οποία, σύμφωνα με το 2ο νόμο της μηχανικής, δίνεται από τον τύπο [pic] ή, ισοδύναμα, [pic], όπου [pic] η συνάρτηση θέσης του σώματος. Επομένως, για να προσδιορίσουμε τη θέση [pic] του σώματος, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση [pic]. (2) Εξισώσεις όπως οι (1) και (2) λέγονται διαφορικές εξισώσεις. Γενικά,

ΟΡΙΣΜΟΣ Διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή x, μια άγνωστη συνάρτηση [pic] και κάποιες από τις παραγώγους της [pic].

Για παράδειγμα, οι εξισώσεις [pic], [pic], [pic] είναι διαφορικές εξισώσεις. Η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωση ονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης. Έτσι οι εξισώσεις [pic] και [pic] είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, ενώ η [pic] είναι δευτέρας τάξεως. Κάθε συνάρτηση [pic] που επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση λέγεται λύση της εξίσωσης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης [pic], αφού [pic]. Το σύνολο όλων των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται γενική λύση της εξίσωσης. Για παράδειγμα, η γενική λύση της εξίσωσης [pic] είναι η [pic], [pic]. Συχνά ζητάμε εκείνη τη λύση [pic] της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί μια αρχική συνθήκη [pic]. Για να βρούμε τη λύση αυτή, βρίσκουμε πρώτα τη γενική λύση της εξίσωσης και με τη βοήθεια της αρχικής συνθήκης προσδιορίζουμε τη ζητούμενη λύση. Για παράδειγμα, η λύση [pic] της διαφορικής εξίσωσης [pic], που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη [pic], είναι η συνάρτηση [pic], αφού από τη γενική λύση [pic], για [pic] και [pic] είναι [pic]. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με δυο ειδικές μορφές διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως: - Τις εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και - Τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως.