ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3.1 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Αρχική συνάρτηση Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται προβλήματα, που η λύση τους απαιτεί πορεία αντίστροφη της παραγώγισης. Τέτοια προβλήματα είναι για παράδειγμα τα παρακάτω: - Η εύρεση της θέσης [pic] ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η ταχύτητά του [pic] που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης [pic]. - Η εύρεση της ταχύτητας [pic] ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η επιτάχυνσή του [pic] που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης [pic]. - Η εύρεση του πληθυσμού [pic] μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστός ο ρυθμός αύξησης [pic] του πληθυσμού. Το κοινό χαρακτηριστικό των προβλημάτων αυτών είναι ότι, δίνεται μια συνάρτηση f και ζητείται να βρεθεί μια άλλη συνάρτηση F για την οποία να ισχύει [pic] σε ένα διάστημα Δ. Οδηγούμαστε έτσι στον παρακάτω ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ(1) ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει [pic], για κάθε [pic].

(1) Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] είναι μια παράγουσα της [pic] στο [symbol], αφού [pic]. Παρατηρούμε ότι και όλες οι συναρτήσεις της μορφής [pic], όπου [pic], είναι παράγουσες της f στο [symbol], αφού [pic]. Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε - όλες οι συναρτήσεις της μορφής [pic], [pic], είναι παράγουσες της f στο Δ και - κάθε άλλη παράγουσα [pic] της f στο Δ παίρνει τη μορφή [pic], [pic]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ - Κάθε συνάρτηση της μορφής [pic], όπου [pic], είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού [pic], για κάθε [pic]. - Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε [pic] ισχύουν [pic] και [pic], οπότε [pic], για κάθε [pic]. Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της § 2.6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε [pic], για κάθε [pic].

Αόριστο ολοκλήρωμα Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ, συμβολίζεται [pic] και διαβάζεται "ολοκλήρωμα εφ του x ντε x". Δηλαδή, [pic], [pic], όπου F μια παράγουσα της f στο Δ. Για παράδειγμα, [pic], αφού [pic]. Από τον τρόπο που ορίστηκε το αόριστο ολοκλήρωμα προκύπτει ότι: Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει [pic], [pic] Η διαδικασία εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος είναι αντίστροφη πορεία της παραγώγισης και λέγεται ολοκλήρωση. Η σταθερά c λέγεται σταθερά ολοκλήρωσης. Από τον πίνακα των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε τον παρακάτω πίνακα αόριστων ολοκληρωμάτων. Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.

|ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ | |1. | [pic][pic] |6. |[pic][pic] | |2. | [pic][pic] |7. | [pic][pic] | |3. | [pic][pic] |8. | [pic][pic] | |4. |[pic][pic], [pic] |9. | [pic][pic] | |5. | [pic][pic] |10. | [pic][pic] |

Συνέπεια του ορισμού του αόριστου ολοκληρώματος και των κανόνων παραγώγισης είναι οι εξής δύο ιδιότητες: Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν παράγουσα σ’ ένα διάστημα Δ, τότε - [pic], [pic] - [pic] Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους έχουμε για παράδειγμα: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].