Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Κοίλα - κυρτά συνάρτησης - Έστω οι συναρτήσεις [pic] και [pic] (Σχ. 38). [pic] [pic] Οι πληροφορίες τις οποίες μας δίνει η πρώτη παράγωγος για τη συμπεριφορά κάθε μιας από τις δύο συναρτήσεις, όπως φαίνεται και στο σχήμα 38 είναι ίδιες. Δηλαδή οι συναρτήσεις, - είναι γνησίως φθίνουσες στο [pic] - είναι γνησίως αύξουσες στο [pic] - παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο για [pic], το οποίο είναι ίσο με 0. Όμως, οι συναρτήσεις αυτές έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις. Δηλαδή, "ανέρχονται" και "κατέρχονται" με διαφορετικό τρόπο σε κάθε ένα από τα διαστήματα [pic] και [pic]. Επομένως, οι πληροφορίες που μας δίνει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεν είναι ικανές για τη χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Ας θεωρήσουμε τώρα τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο διάστημα [pic]. [pic] [pic] Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται: - η κλίση [pic] της [pic] αυξάνεται, δηλαδή η [pic] είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], ενώ - η κλίση της [pic] της [pic] ελαττώνεται, δηλαδή η [pic] είναι γνησίως φθίνουσα στο [pic]. Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο [pic], ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο [pic]. Γενικά δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι: - Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η [pic] είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. - Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η [pic] είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.

Εποπτικά, μία συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, όταν ένα κινητό, που κινείται πάνω στη [pic], για να διαγράψει το τόξο που αντιστοιχεί στο διάστημα Δ πρέπει να στραφεί κατά τη θετική (αντιστοίχως αρνητική) φορά. (Σχ. 40) [pic] Για να δηλώσουμε στον πίνακα μεταβολών ότι μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό [pic] (αντιστοίχως [pic] ).

ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται "κάτω" (αντιστοίχως "πάνω") από τη γραφική της παράσταση (Σχ. 39), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. - Η μελέτη μιας συνάρτησης ως προς τα κοίλα και κυρτά διευκολύνεται με τη βοήθεια του επόμενου θεωρήματος, που είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενου ορισμού και του θεωρήματος μονοτονίας.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. - Αν [pic] για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. - Αν [pic] για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ. [pic] Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] (Σχ. 41), - είναι κοίλη στο [pic], αφού [pic], για [pic] και η f είναι συνεχής στο [pic] ενώ, - είναι κυρτή στο [pic], αφού [pic], για [pic] και η f είναι συνεχής στο [pic]. [pic]

ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic] (Σχ. 42). Επειδή η [pic] είναι γνησίως αύξουσα στο [symbol], η [pic] είναι κυρτή στο [symbol]. Εντούτοις, η [pic] δεν είναι θετική στο [symbol], αφού [pic].