Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η έννοια του τοπικού ακροτάτου

[pic] Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα [pic]. Παρατηρούμε ότι στο σημείο [pic] η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε "γειτονικό" σημείο του [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο [pic] τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία [pic] και [pic]. Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο [pic] τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει [pic], τέτοιο ώστε [pic] για κάθε [pic]. Το [pic] λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το [pic] τοπικό μέγιστο της f.

Αν η ανισότητα [pic] ισχύει για κάθε [pic], τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο 1.3, η f παρουσιάζει στο [pic] ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το [pic]. [pic] Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι στο σημείο [pic] η τιμή της συνάρτησης είναι μικρότερη από την τιμή της σε κάθε "γειτονικό" σημείο του [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο [pic] τοπικό ελάχιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία [pic] και β. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο [pic] τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει [pic], τέτοιο ώστε [pic], για κάθε [pic]. Το [pic] λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το [pic] τοπικό ελάχιστο της f.

Αν η ανισότητα [pic] ισχύει για κάθε [pic], τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο 1.3, η f παρουσιάζει στο [pic] ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το [pic]. Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων. Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής. [pic] Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] παρουσιάζει: i) στο [pic] τοπικό ελάχιστο, το [pic], το οποίο είναι και ολικό ελάχιστο και ii) στο [pic] τοπικό μέγιστο, το [pic]. Η συνάρτηση f αν και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, εντούτοις δεν παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο.

ΣΧΟΛΙΑ i) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο (Σχ.32α). [pic] [pic] ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. (Σχ. 32β). Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης (Σχ. 32α).