Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο

Στα προηγούμενα, οι ορισμοί της στιγμιαίας ταχύτητας ενός κινητού και της εφαπτομένης σε σημείο μιας καμπύλης μας οδήγησαν σε ένα όριο της μορφής [pic]. Για την ιδιαίτερη περίπτωση που το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο [pic] του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το [pic] και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο [pic] και συμβολίζεται με [pic]. Δηλαδή: [pic]. Για παράδειγμα, αν [pic], τότε στο [pic] έχουμε [pic]. Επομένως, [pic]. Αν, τώρα, στην ισότητα [pic] θέσουμε [pic], τότε έχουμε [pic]. Πολλές φορές το [pic] συμβολίζεται με [pic], ενώ το [pic] [pic] συμβολίζεται με [pic], οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: [pic]. Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο [pic] με [pic] ή [pic]. Ο συμβολισμός [pic] είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange. Είναι φανερό ότι, αν το [pic] είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic], αν και μόνο αν υπάρχουν στο [symbol] τα όρια [pic], [pic] και είναι ίσα. [pic] Για παράδειγμα, - η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο 0 με [pic], αφού [pic] και [pic], [pic] ενώ - η συνάρτηση [pic] δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, αφού [pic] και [pic].

ΣΧΟΛΙΑ Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: - Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή [pic], είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης [pic] τη χρονική στιγμή [pic]. Δηλαδή, είναι [pic]. - Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της [pic] μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο σημείο [pic] είναι η παράγωγος της f στο [pic]. Δηλαδή, είναι [pic], οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι:

|[pic] |

Την κλίση [pic] της εφαπτομένης ε στο [pic] θα τη λέμε και κλίση της [pic] στο Α ή κλίση της f στο [pic].