Πρόβλημα εφαπτομένης

[pic] Είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότι εφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ονομάζουμε την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο, το Α. Ο ορισμός αυτός δεν μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε καμπύλη, γιατί, με έναν τέτοιο ορισμό η παραβολή [pic] θα είχε στο σημείο [pic] δύο εφαπτόμενες ε και ζ (Σχ. 4α), ενώ η [pic] δεν θα είχε στο σημείο [pic] καμία εφαπτομένη (Σχ. 4β). [pic] [pic] Επομένως, πρέπει να αναζητήσουμε έναν άλλον ορισμό της εφαπτομένης του κύκλου, ο οποίος να μπορεί να γενικευτεί για όλες τις καμπύλες. [pic] Θεωρούμε, λοιπόν, ένα άλλο σημείο Μ του κύκλου (Σχ. 5). Τα σημεία [pic] ορίζουν μια τέμνουσα του κύκλου, την ευθεία [pic]. Καθώς το σημείο Μ, κινούμενο πάνω στον κύκλο πλησιάζει στο Α, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να έχει ως "οριακή θέση" την εφαπτομένη του κύκλου στο Α. Τη διαπίστωση αυτή θα δούμε, τώρα, πως μπορούμε να την αξιοποιήσουμε για να ορίσουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της. [pic] [pic] - Έστω f μία συνάρτηση και [pic] ένα σημείο της γραφικής της παράστασης. Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο [pic], [pic], της γραφικής παράστασης της f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι: Καθώς το x τείνει στο [pic] με [pic], η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε (Σχ. 6α). Την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το x τείνει στο [pic] με [pic] (Σχ. 6β). Την οριακή θέση της ΑΜ θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α. Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με [pic], είναι λογικό να αναμένουμε ότι η εφαπτομένη της [pic] στο σημείο [pic] θα έχει κλίση το [pic]. Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση και [pic] ένα σημείο της [pic]. Αν υπάρχει το [pic] και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της [pic] στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο [pic] είναι [pic], όπου [pic] [pic]. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic] και το σημείο της [pic]. Επειδή [pic] [pic], ορίζεται εφαπτομένη της [pic] στο σημείο της [pic]. Η εφαπτομένη αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης [pic] και εξίσωση [pic].