1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ [pic]

[pic] - Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο [pic]. Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα [pic] πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό [pic], οι τιμές [pic] αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο [pic] όριο [pic] και γράφουμε [pic]. [pic] - Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο [pic]. Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα [pic] πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό [pic], οι τιμές [pic] ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό [pic] [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο [pic] όριο [pic] και γράφουμε [pic].

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής [pic]. Ορίζουμε - [pic], όταν για κάθε [pic] υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε για κάθε [pic], με [pic] να ισχύει [pic] - [pic], όταν για κάθε [pic] υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε για κάθε [pic], με [pic] να ισχύει [pic]

Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν [pic] και [pic]. [pic] [pic] Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής [pic], ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: [pic] [pic]. Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες: - Αν [pic], τότε [pic] κοντά στο [pic], ενώ αν [pic], τότε [pic] κοντά στο [pic]. - Αν [pic], τότε [pic] , ενώ αν [pic], τότε [pic]. - Αν [pic] ή [pic], τότε [pic]. - Αν [pic] και [pic] κοντά στο [pic], τότε [pic], ενώ αν [pic] και [pic] κοντά στο [pic], τότε [pic]. - Αν [pic] ή [pic], τότε [pic]. - Αν [pic], τότε [pic]. Σύμφωνα με τις ιδιότητες αυτές έχουμε: [pic] και γενικά [pic], [pic] (Σχ. 57α) [pic] [pic] [pic] και γενικά [pic], [pic] ενώ [pic] και γενικά [pic], [pic] (Σχ. 57β). Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της [pic], [pic]. Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (όριο αθροίσματος)

|Αν στο [pic] | | | | | | | |το όριο της f |[pic] |[pic] |[pic]|[symbol] |[pic]|[symbol] | |είναι: | | | | | | | |και το όριο της g |[pic]|[symbol] |[pic]|[symbol]| |[pic]| |είναι: | | | | |[symbol]| | |τότε το όριο της |[pic]|[symbol] |[pic|[symbol]|; |; | |[pic] είναι: | | | | | | |

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινομένου)

|Αν στο [pic], | | | | | | | | | | | |το όριο της f| |είναι: |α>0 |α0 |α

Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε. Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι: [pic] και [pic]. Επειδή [pic] και [pic], απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: [pic], [pic] και [pic], [pic]. Για παράδειγμα: - αν πάρουμε τις συναρτήσεις [pic] και [pic], τότε έχουμε: [pic], [pic] και [pic] ενώ, - αν πάρουμε τις συναρτήσεις [pic] και [pic], τότε έχουμε: [pic], [pic] και [pic]. Ανάλογα παραδείγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές.