"Institute of Educational Policy" Books
Το Σύνολο [symbol] των Μιγαδικών Αριθμών
Γνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα δεν έχει λύση στο σύνολο [pic] των πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα η εξίσωση [pic] δεν έχει λύση στο σύνολο [pic] των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Για να ξεπεράσουμε την "αδυναμία" αυτή, διευρύνουμε το σύνολο [pic] σε ένα σύνολο [pic], το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το [pic], τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης [pic], δηλαδή ένα στοιχείο [pic], τέτοιο, ώστε [pic]. Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο [pic] θα έχει ως στοιχεία: - Όλους τους πραγματικούς αριθμούς - Όλα τα στοιχεία της μορφής [pic], που είναι γινόμενα των στοιχείων του [pic] με το [pic]και - Όλα τα αθροίσματα της μορφής [pic], με [pic] και [pic] πραγματικούς αριθμούς. Τα στοιχεία του [pic] λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το [pic] σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως: Το σύνολο [pic] των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου [pic] των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: - Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο [pic], με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, - Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε [pic], - Κάθε στοιχείο z του [pic] γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή [pic], όπου [pic][pic]. Η έκφραση [pic] είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι η σύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού [pic] και του [pic], τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό. Ο [pic] λέγεται πραγματικό μέρος του [pic] και σημειώνεται [pic], ενώ ο [pic] λέγεται φανταστικό μέρος του [pic] και σημειώνεται [pic]. Επιπλέον, στο [pic] κάθε πραγματικός αριθμός [pic] εκφράζεται ως [pic], ενώ κάθε φανταστικός αριθμός [pic] εκφράζεται ως [pic]. Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός [pic], εννοούμε ότι οι [pic] και [pic] είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.