Παράσταση προσημασμένων ακέραιων αριθμών

Για να παρασταθεί ένας τέτοιος αριθμός, χρειάζεται να εκφραστεί τόσο η απόλυτη τιμή του, όσο και το πρόσημό του με 0 ή 1. Για το πρόσημο χρησιμοποιείται το πρώτο από αριστερά δυαδικό ψηφίο της λέξης, ενώ στα υπόλοιπα n-1 τοποθετείται η απόλυτη τιμή του αριθμού σε δυαδική μορφή. Αν ο αριθμός είναι θετικός, το πρόσημο παριστάνεται με το 0, ενώ αν είναι αρνητικός, με το 1. Έτσι αν το n=6, ο αριθμός +13 παριστάνεται με το 001101, ενώ ο αριθμός -13 με το 101101.

Αν και αυτός ο τρόπος παράστασης είναι σχετικά απλός, δεν εξυπηρετεί στη σχεδίαση των κυκλωμάτων που απαιτούνται για τις αριθμητικές πράξεις. Έτσι έχουν επινοηθεί και άλλες μέθοδοι παράστασης των ακεραίων, όπως η μέθοδος του συμπληρώματος ως προς 1 (1’s complement) και η μέθοδος του συμπληρώματος ως προς 2 (2’s complement), στις οποίες θα αναφερθούμε στη συνέχεια. Και στις δύο αυτές παραστάσεις το αριστερότερο bit αφορά το πρόσημο, δηλαδή 0 θετικός, 1 αρνητικός.

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 1 Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, για την παράσταση ενός θετικού δυαδικού αριθμού τοποθετείται στο πρώτο από αριστερά bit το 0 και στα υπόλοιπα η απόλυτη τιμή του από δεξιά προς τα αριστερά. Αν ο αριθμός είναι αρνητικός παριστάνεται με το συμπλήρωμα ως προς 1 του αντίστοιχου θετικού αριθμού. Το συμπλήρωμα ως προς 1 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται αν αντικατασταθούν όλα τα 0 με 1 και όλα τα 1 με 0 (συμπεριλαμβανομένου και του προσήμου). Για παράδειγμα, στον επόμενο πίνακα φαίνεται πώς προκύπτει το συμπλήρωμα ως προς 1 του αριθμού 1 0 0 1 1 0 1 1

Έτσι η παράσταση, με τη μέθοδο του συμπληρώματος ως προς 1, του αριθμού +11 με 6 bit είναι η επόμενη [pic] και του αριθμού -11 είναι η [pic] Με τη μέθοδο αυτή και με τη χρήση 8 bit μπορούν να παρασταθούν αριθμοί από το -127 έως 127 ή αλλιώς από το [pic] έως [pic]. Η παράσταση συμπληρώματος ως προς 1 θεωρείται απηρχαιομένη και έχει πλέον εγκαταλειφθεί.

Με τη μέθοδο συμπληρώματος ως προς 1 ο μέγιστος ακέραιος που μπορεί να παρασταθεί με n bit είναι ο [pic]και ο ελάχιστος είναι [pic]. Μειονέκτημα: το 0 παριστάνεται με δύο τρόπους: σαν 00000…000 ή σαν 11111…111

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 Αυτή η μέθοδος παράστασης είναι ίδια με την προηγούμενη, μόνο που, αντί για το συμπλήρωμα ως προς 1 ενός αριθμού, χρησιμοποιείται το συμπλήρωμα ως προς 2. Το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται αν βρεθεί πρώτα το συμπλήρωμά του ως προς 1 και σε αυτό προστεθεί το 1. Για παράδειγμα στον επόμενο πίνακα υπολογίζεται το συμπλήρωμα ως προς 2 του αριθμού 1 0 0 1 1 0 1 1. [pic]

Έτσι η παράσταση, με τη μέθοδο του συμπληρώματος ως προς 2, του αριθμού +27 με 8 bit είναι: [pic] και του αριθμού -27 είναι: [pic]

Με τη μέθοδο αυτή και με τη χρήση 8 bit μπορούν να παρασταθούν αριθμοί από το -128 έως 127 ή αλλιώς από το -27 έως 27 - 1. Το πλεονέκτημα των μεθόδων "συμπληρώματος ως προς 1 και 2" είναι ότι ο υπολογιστής δεν χρειάζεται να διαθέτει ειδικά κυκλώματα για την αφαίρεση, μια και για να αφαιρεθεί ένας αριθμός από έναν άλλο αρκεί να προστεθεί στο μειωτέο το συμπλήρωμα ως προς 2 ή προς 1 του αφαιρετέου. Μάλιστα, τα κυκλώματα που χρησιμοποιούνται για την αντιστροφή των δυαδικών ψηφίων κατασκευάζονται πολύ πιο εύκολα από αυτά της αφαίρεσης. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να αφαιρέσουμε τον αριθμό +12 από τον +17 με τη χρήση 6 bit, έχουμε: α) Αφαίρεση β) Μέθοδος συμπληρώματος ως προς 2

Με τη μέθοδο συμπληρώματος ως προς 2, ο μέγιστος ακέραιος που μπορεί να παρασταθεί με n bit είναι ο [pic] και ο ελάχιστος είναι [pic].