Απόδειξη της σχέσης [pic]

Σχ. 1.7 Ένα μόριο του αερίου που κινείται με ταχύτητα υ1 μέσα σε κυβικό δοχείο ακμής d.

Θεωρούμε ένα κυβικό δοχείο ακμής d. (σχ. 1.7). Το δοχείο θα έχει όγκο [pic] και εμβαδόν έδρας [pic]. Υποθέτουμε ότι στο δοχείο περιέχεται πολύ μεγάλος αριθμός Ν πανομοιότυπων μορίων αερίου, μάζας m το καθένα, που πληρούν τις προϋποθέσεις της προηγούμενης παραγράφου. Τα τοιχώματα του δοχείου είναι τελείως άκαμπτα, έχουν πολύ μεγάλη μάζα και δε μετακινούνται. Κατά τη διάρκεια των κρούσεων των μορίων στα τοιχώματα, τα μόρια ασκούν δυνάμεις σ’ αυτά. Σ’ αυτές τις δυνάμεις οφείλεται η πίεση που ασκεί το αέριο. Οι δυνάμεις αυτές είναι αντίθετες με τις δυνάμεις που ασκούνται από το τοίχωμα στα μόρια κατά την κρούση (αρχή δράσης- αντίδρασης) και προκαλούν τη μεταβολή της ορμής των μορίων. Από το δεύτερο νόμο του Newton γνωρίζουμε ότι [pic], άρα, αν καταφέρουμε να υπολογίσουμε τη συνολική μεταβολή της ορμής που υφίστανται τα μόρια στη μονάδα του χρόνου (δηλ. το ρυθμό μεταβολής της ορμής τους) λόγω των κρούσεών τους πάνω σε μία από τις έδρες του δοχείου θα βρούμε και το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τα μόρια σ’ αυτή την έδρα. Μετά, για να βρούμε την πίεση p, αρκεί να διαιρέσουμε τη δύναμη με την επιφάνεια [pic]. (Προσοχή : χρησιμοποιούμε κεφαλαίο P για την ορμή και μικρό p για την πίεση.)

Σχ. 1.8 Η ταχύτητα αναλύεται σε τρεις συνιστώσες σε τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Έστω ένα μόριο που κινείται με ταχύτητα υ1. Αναλύουμε την ταχύτητά του σε τρεις συνιστώσες ( υ1x , υ1y , υ1z ) (σχ. 1.8). Εξετάζουμε τις κρούσεις στο τοίχωμα του δοχείου που είναι κάθετο στη υ1x . Εφόσον οι κρούσεις είναι απολύτως ελαστικές το μόριο ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου. Η υ1y και η υ1z δε μεταβάλλονται ενώ η υ1x αλλάζει φορά. Η μεταβολή της ορμής που υφίσταται το μόριο κατά την κρούση θα είναι [pic] Ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κρούσεις του ίδιου σωματιδίου στην ίδια έδρα θα είναι [pic]άρα ο αριθμός κρούσεων στη μονάδα του χρόνου για αυτό το μόριο στην ίδια έδρα θα είναι [pic]και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ( η μεταβολή της ορμής στη μονάδα του χρόνου ) θα είναι [pic] Η δύναμη που δέχεται το μόριο από το τοίχωμα θα είναι [pic]και αντίστοιχα αυτή που δέχεται το τοίχωμα από το μόριο θα είναι [pic] Σχ. 1.9 Η κίνηση του μορίου στο επίπεδο xy.

Η δύναμη (ΣFx) που ασκείται πάνω στο τοίχωμα που μελετάμε είναι το άθροισμα όλων των αντίστοιχων όρων που αφορούν κάθε μόριο χωριστά. Η πίεση (p) που δέχεται η εν λόγω έδρα από το αέριο θα είναι [pic] όπου [pic]. Άρα [pic] Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το κλάσμα με Ν (το πλήθος των μορίων) οπότε [pic] Ο όρος [pic] είναι η μέση τιμή των τετραγώνων των υx ταχυτήτων και θα τον συμβολίζουμε [pic].

Εικ.1.3 Οι δυνάμεις που ασκούνται κατά τις κρούσεις των μορίων του αερίου, που περιέχουν τα μπαλόνια, με τα τοιχώματα τεντώνουν το ελαστικό περίβλημα των μπαλονιών.

Τελικά [pic] (1.10) Τα μόρια κινούνται άτακτα, δεν έχουν δηλαδή καμιά προτίμηση ως προς την κατεύθυνση κίνησής τους, επομένως [pic] Γνωρίζουμε ότι γενικά [pic] Εύκολα αποδεικνύεται ότι [pic] επειδή [pic] καταλήγουμε στη σχέση [pic] άρα [pic] Αντικαθιστώντας το ίσον της [pic] στη σχέση (1.10) και λαμβάνοντας υπόψη ότι [pic]προκύπτει [pic]