Παράδειγμα

Το σώμα της εικ. 5.6 εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα [pic] από τη βάση ανηφόρας κλίσης 30°. α) Πόσο διάστημα διανύει ανεβαίνοντας, αν το επίπεδο θεωρείται λείο; β) Να βρεθεί το ίδιο διάστημα, αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι 0,2, και να υπολογιστεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας, αν η μάζα του σώματος είναι lkg. γ) Με ποια ταχύτητα επιστρέφει το σώμα στη βάση του για τις παραπάνω περιπτώσεις; [pic]

Λύση: Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις στο σώμα και στις δυο περιπτώσεις και τις αναλύουμε στους άξονες x (παράλληλο με το κεκλιμένο επίπεδο) και y (κάθετο στον x).

α) Χρησιμοποιούμε τη σχέση (5.7): [pic]. Έργο W καταναλίσκει μόνο η συνιστώσα Βx του βάρους Β. Άρα: [pic] ή [pic].

β) Πριν από την επεξεργασία σκεφτόμαστε πρακτικά: η διαδρομή σε μη λείο επίπεδο πρέπει να είναι μικρότερη. (Ή όχι; Και γιατί;). Τώρα έχουμε και το έργο της τριβής: [pic]. Άρα: [pic] (πάλι υ=0). Επομένως: [pic]. Βρίσκουμε: [pic]. Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας ΔΕμηχ ισούται με το έργο της τριβής WT: ΔΕμηχ =WT= ηmgσυνφs= -0,2.1kg.l0 m/s2 3/2 7,6m= -13,75J.

γ) Στην περίπτωση του λείου επιπέδου, η μόνη δύναμη που έχει σχέση με το έργο είναι το βάρος, δύναμη συντηρητική, όπως είπαμε, με αποτέλεσμα να μην έχουμε συνολικό έργο στην κλειστή διαδρομή: Wολ=0. Άρα το σώμα επιστρέφει με την ίδια ταχύτητα υ0 στη βάση.

Για το μη λείο επίπεδο τα έργα των Βx και Τ εκφράζονται με τις ίδιες σχέσεις, που αναφέρθηκαν πιο πάνω. Τώρα, όμως, το έργο της Βx είναι θετικό (γιατί;). Άρα: [pic] και [pic]. Επομένως: [pic] και: [pic]. Τελικά: [pic]. Βρίσκουμε: [pic].