Παραδείγματα για τον υπολογισμό της δύναμης λόγω μεταβολής της ορμής

Θέλουμε να καρφώσουμε ένα καρφί κάθετα στον τοίχο (I) και άλλο ένα στο πάτωμα (II). Χρησιμοποιούμε ένα σφυρί μάζας m =2 kg, το οποίο προσκρούει στο καρφί με ταχύτητα υ= 10 m/s και ακινητοποιείται. Η διάρκεια του χτυπήματος είναι Δt = 0,01sec. Ζητούμε να υπολογίσουμε τη δύναμη που ασκεί το σφυρί στο καρφί στις δυο αυτές περιπτώσεις. (g= 10m/sec2)

Λύση Επειδή για το καρφί δεν έχουμε πληροφορίες (μάζα, ταχύτητα κτλ.), υπολογίζουμε τη δύναμη F, που δέχεται το σφυρί, και λόγω του αξιώματος "δράσης-αντίδρασης" μπορούμε να βρούμε τη δύναμη F', που δέχεται το καρφί.

Περίπτωση (I): Εφαρμόζοντας το νόμο μεταβολής της ορμής για το σφυρί έχουμε ότι: [pic] Από την τελευταία σχέση [pic] εύκολα διαπιστώνουμε ότι η δύναμη F, την οποία δέχεται το σφυρί και η ταχύτητα του υ είναι διανύσματα αντίρροπα (προφανώς λόγω του αρνητικού πρόσημου του β' μέλους της σχέσης).

Θα πρέπει τώρα τη διανυσματική αυτή σχέση να τη μετατρέψουμε σε σχέση αλγεβρικών τιμών των διανυσμάτων, προκειμένου να βρούμε τη ζητούμενη τιμή της δύναμης. Αυτό είναι κάτι πολύ απλό, αφού το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να ορίσουμε αυθαίρετα μια θετική φορά (έστω της δύναμης) και στη συνέχεια για όποιο διάνυσμα έχει θετική φορά να πάρουμε θετική αλγεβρική τιμή (δύναμη F) και για όποιο έχει αρνητική φορά να πάρουμε αρνητική αλγεβρική τιμή (ταχύτητα υ). Έτσι, η διανυσματική σχέση θα γίνει: [pic]

Τελικά, η απάντηση είναι ότι η δύναμη την οποία δέχεται το σφυρί έχει μέτρο 2000Ν και η φορά της είναι αντίθετη της ταχύτητας του σφυριού, ενώ η δύναμη F' που ασκείται στο καρφί έχει μέτρο πάλι 2000Ν (δράση - αντίδραση) και φορά ομόρροπη της ταχύτητας του σφυριού.

Σημειώστε ότι το βάρος του σφυριού δεν εμπλέκεται καθόλου στις εξισώσεις μας, διότι δεν έχει συνιστώσα κατά τον άξονα κίνησης του σφυριού.

Περίπτωση (II) Εδώ θα πρέπει να προσέξουμε ότι στον άξονα κίνησης δρα και το βάρος μαζί με τη ζητούμενη δύναμη F, οπότε ο νόμος μεταβολής της ορμής θα έχει τη μορφή: [pic] και τελικά: F +B = [pic], οπότε λαμβάνοντας θετική τη φορά, έστω της ταχύτητας, θα έχουμε ότι: -F + Β = -mυ/Δt ή F = Β + mυ/Δt και επειδή Β = mg, τελικά θα έχουμε F= mg + mυ/Δt και μετά την αντικατάσταση και τις πράξεις θα βρούμε F= 2020N.

Στην περίπτωση αυτή, επομένως, το καρφί δέχεται (άρα και ανταποδίδει) μεγαλύτερη δύναμη εξαιτίας της συνεισφοράς του βάρους του σφυριού.

Μπαλάκι του τένις μάζας m=250g κινούμενο (σχεδόν) κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου 50m/s αποκρούεται, με αποτέλεσμα να αντιστραφεί η φορά της ταχύτητας δίχως να αλλάξει το μέτρο της. Θέλουμε να υπολογίσουμε τη δύναμη που του ασκήθηκε από τη ρακέτα, αν η διάρκεια της απόκρουσης ήταν 0,02 s. (g=10m/sec2).

Λύση Εφαρμόζοντας το νόμο μεταβολής της ορμής θα έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: [pic] Επιλέγοντας θετική φορά έστω του βάρους θα έχουμε ότι: [pic] και μετά την αντικατάσταση και τις πράξεις βρίσκουμε F= 1252,5N.

(Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή της δύναμης που βρήκαμε αντιπροσωπεύει μια μέση τιμή της. Η ρακέτα προφανώς ανταποδίδει δύναμη στο μπαλάκι, η οποία κυμαίνεται μεταξύ μιας ελάχιστης και μιας μέγιστης τιμής. Αυτό, συμβαίνει, διότι η επαφή της ρακέτας με το μπαλάκι γίνεται συνεχώς καλύτερη, μέχρι τελικά να γίνει πλήρης).