3.4 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ - ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

Δεσμευμένη Πιθανότητα

Για το διοικητικό συμβούλιο μιας επιχείρησης θα εκλεγεί ένας αντιπρόσωπος. Υποψήφιοι είναι 7 άνδρες και 8 γυναίκες. Από τους υποψηφίους 3 άνδρες και 6 γυναίκες είναι διοικητικοί υπάλληλοι, ενώ 4 άνδρες και 2 γυναίκες είναι τεχνικοί υπάλληλοι. Σύμφωνα με αυτά τα δεδομένα οι υποψήφιοι μπορούν να ταξινομηθούν στον ακόλουθο πίνακα ως εξής:

| |Διοικητικός |Τεχνικός |Άθροισμα | | | | |γραμμής | |Άνδρας |3 |4 |7 | |Γυναίκα |6 |2 |8 | |Άθροισμα |9 |6 |15 | |στήλης | | | |

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: "Να εκλεγεί διοικητικός" Β: "Να εκλεγεί γυναίκα". Με την παραδοχή ότι τα 15 στοιχεία του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα, έχουμε [pic] και [pic]. Ύστερα από την εκλογή και πριν από την ανακοίνωση του αποτελέσματος έγινε γνωστό ότι εκλέγεται γυναίκα. Αυτό συνεπάγεται ότι ο αντιπρόσωπος θα είναι μία από τις 8 γυναίκες και επομένως η πιθανότητα να εκλεγεί διοικητικός γίνεται [pic]. Αυτή λοιπόν είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου: "Να εκλεγεί διοικητικός με δεδομένο ότι έχει ήδη εκλεγεί γυναίκα". Το ενδεχόμενο αυτό συμβολίζεται με [pic] και η πιθανότητα του [pic] λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β, δηλαδή [pic]. Ομοίως βρίσκουμε ότι [pic]. [pic] Γενικά, έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με [pic]. Ας υποθέσουμε ότι ζητάμε την πιθανότητα του Α με δεδομένο ότι το Β έχει ήδη πραγματοποιηθεί. Αφού έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β, η απλή λογική μας λέει ότι πρέπει να περιοριστούμε στα στοιχεία του Β και από αυτά να βρούμε ποια είναι τα ευνοϊκά για το Α. Με άλλα λόγια η πληροφορία για την πραγματοποίηση του Β περιορίζει το δειγματικό χώρο Ω στο Β και το ενδεχόμενο Α στο [pic]. Επομένως, αν υποθέσουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα αποτελέσματα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι: [pic]. Η πιθανότητα αυτή λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β. Γενικά: Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος και [pic], τότε ο λόγος [pic] λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β και συμβολίζεται με [pic]. Δηλαδή: [pic]. Ομοίως, αν [pic], τότε [pic]. Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα η πιθανότητα να εκλεγεί διοικητικός με δεδομένο ότι έχει εκλεγεί γυναίκα είναι: [pic] και [pic]. Άμεση συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι ότι [pic]. Οι παραπάνω ισότητες εκφράζουν τον πολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων.