Συντελεστής Γραμμικής Συσχέτισης

Ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης δύο μεταβλητών Χ και Υ ορίζεται με βάση ένα δείγμα ν ζευγών παρατηρήσεων [pic] [pic], συμβολίζεται με [pic] ή απλά με r και δίνεται από τον τύπο: [pic] (1) αναφέρεται δε και ως συντελεστής συσχέτισης του Pearson. Από τον ορισμό του r παρατηρούμε ότι για μεγάλες τιμές [pic] της Χ και [pic] της Υ (μεγαλύτερες από τη μέση τιμή τους) οι διαφορές [pic] και [pic] είναι θετικές, οπότε το γινόμενό τους είναι θετικό. Όμοια για μικρές τιμές [pic] και [pic], οι διαφορές [pic] και [pic] είναι αρνητικές, οπότε το γινόμενό τους είναι πάλι θετικό. Επομένως, όταν σε μεγάλες τιμές της μεταβλητής Χ αντιστοιχούν και μεγάλες τιμές της Υ, ή σε μικρές τιμές της Χ αντιστοιχούν μικρές τιμές της Υ τότε ο συντελεστής συσχέτισης είναι θετικός και λέμε ότι οι Χ, Υ είναι θετικά συσχετισμένες. Ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι ο r παίρνει αρνητικές τιμές όταν σε μεγάλες τιμές της μιας μεταβλητής αντιστοιχούν μικρές τιμές της άλλης, οπότε λέμε ότι οι μεταβλητές αυτές είναι αρνητικά συσχετισμένες. Με βάση τον παρακάτω πίνακα και τον τύπο (1) υπολογίζουμε το συντελεστή γραμμικής συσχέτισης για τα δεδομένα του πρώτου παραδείγματος [pic].

|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] | ||| | | | | | |1 |2,5| | |4 | |3 | |1 | |-2 |-1,5 |4 |2,25 |0 | |2 |4,0|-2 |0 |1 |0 |1 | |3 | |-1 |-1 |0 |1 |0 | |3 |3,0|0 |0,5 |0 |0,25 |0 | |4 | |0 |0 |1 |0 |-0,5 | |5 |4,5|1 |-0,5 |4 |0,25 |3 | |5 | |2 |1,5 |4 |0,25 |2 | | |4,0|2 |1 | |1 | | | | | | | | | | | |3,5| | | | | | | | | | | | | | | |5,5| | | | | | | | | | | | | | | |5,0| | | | | | |24 |32 |0 | 0|18 | 7| 8,5 |

Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε και το συντελεστή γραμμικής συσχέτισης για τα δεδομένα του δεύτερου παραδείγματος όπου βρίσκουμε [pic]. Συγκρίνοντας τους δύο συντελεστές συσχέτισης βλέπουμε ότι [pic]. Αυτό δηλώνει ότι οι μεταβλητές Χ, Υ του πρώτου παραδείγματος είναι περισσότερο γραμμικά συσχετισμένες παρά οι μεταβλητές [pic] του δεύτερου παραδείγματος. Ο συντελεστής συσχέτισης είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν εκφράζεται σε συγκεκριμένες μονάδες μέτρησης, επομένως είναι ανεξάρτητος των χρησιμοποιούμενων μονάδων μέτρησης των μεταβλητών Χ και Υ. Επί πλέον ισχύει πάντοτε ότι: [pic]. Πιο συγκεκριμένα όταν: - [pic], τότε οι Χ, Υ είναι θετικά γραμμικά συσχετισμένες (σχήμα 19(γ), (ε)) - [pic], τότε οι Χ, Υ είναι αρνητικά γραμμικά συσχετισμένες (σχήμα 19(δ), (στ)) - [pic], τότε έχουμε τέλεια θετική γραμμική συσχέτιση και όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία με θετική κλίση (σχήμα 19(α)), δηλαδή [pic], [pic] - [pic], τότε έχουμε τέλεια αρνητική γραμμική συσχέτιση και όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία με αρνητική κλίση (σχήμα 19(β)), δηλαδή [pic], [pic] - [pic], τότε δεν υπάρχει γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών. Οι μεταβλητές δηλαδή Χ, Υ είναι γραμμικά ασυσχέτιστες (σχήμα 19(ζ)). [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Διαγράμματα διασποράς και συντελεστές συσχέτισης για διάφορα ζεύγη παρατηρήσεων [pic]. [pic] Αποδεικνύεται ότι ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r δίνεται ισοδύναμα και από τον παρακάτω τύπο, η χρήση του οποίου διευκολύνει συχνά τους υπολογισμούς κυρίως στην περίπτωση που οι [pic] δεν είναι ακέραιοι: (2) [pic]