Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

Είδαμε ότι η πιο απλή διαδικασία προσαρμογής μιας ευθείας γραμμής σε ένα διάγραμμα διασποράς είναι "με το μάτι". Αυτή όμως έχει πολλά μειονεκτήματα παρά την απλότητά της. Το κυριότερο είναι η έλλειψη αντικειμενικότητας, αφού διάφορα άτομα μπορούν να χαράξουν διαφορετικές μεταξύ τους ευθείες. Ακόμα και το ίδιο άτομο μπορεί να χαράζει διαφορετικές ευθείες κάθε φορά. Χρειαζόμαστε λοιπόν μια ακριβέστερη μέθοδο για την προσαρμογή μιας ευθείας γραμμής σε τέτοιου είδους δεδομένα. Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των παραμέτρων α και β, άρα και για την εύρεση της εξίσωσης της καλύτερης ευθείας που προσαρμόζεται στα δεδομένα, είναι η "μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων". Η πρώτη αναφορά με ολοκληρωμένη ανάπτυξη της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων εμφανίζεται το 1805 σε μια εργασία του Γάλλου μαθηματικού Legendre, (1752-1833) και αμέσως μετά από το Γερμανό μαθηματικό Gauss, (1777-1855) στην αστρονομική του πραγματεία "Theoria Motus" για τον προσδιορισμό της τροχιάς του μικρού πλανήτη Δήμητρα. Μάλιστα εδώ ο Gauss αναφέρει ότι χρησιμοποίησε την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων πριν από το 1794 (σε ηλικία μόλις 17 ετών), έτσι ώστε να προηγείται του Legendre ως προς την ανακάλυψη αυτής της μεθόδου. Ας δούμε ξανά το διάγραμμα διασποράς στο σχήμα 17 του προηγούμενου παραδείγματος για τα ύψη Χ και τα βάρη Υ των 18 μαθητών του πίνακα 10. Στο διάγραμμα αυτό έχουμε φέρει και μία ευθεία [pic], που πιστεύουμε ότι προσαρμόζεται καλύτερα στα σημεία [pic] για τις [pic] συνολικά μετρήσεις των μεταβλητών Χ και Υ. [pic]

Προσαρμογή ευθείας ελαχίστων τετραγώνων στο διάγραμμα διασποράς του δεδομένων του πίνακα 10.

Έτσι, για παράδειγμα, για το μαθητή Β, σημείο [pic], με ύψος [pic]cm έχουμε βρει, όπως φαίνεται στον πίνακα 10, βάρος [pic], ενώ, σύμφωνα με την ευθεία που φέραμε, το βάρος του αναμένεται να είναι (περίπου) 64kg, έχουμε δηλαδή ένα σφάλμα [pic], δηλαδή βάρος 4kg λιγότερο από το αναμενόμενο. Ομοίως για το μαθητή Ζ, σημείο [pic], το βάρος του που μετρήθηκε ήταν [pic], ενώ το αναμενόμενο βάρος του σύμφωνα με την ευθεία που φέραμε είναι 71kg, έχουμε δηλαδή ένα σφάλμα [pic], δηλαδή βάρος 10kg περισσότερο από το αναμενόμενο. Ανάλογα σφάλματα υπολογίζονται και για τους άλλους μαθητές. Θα θέλαμε λοιπόν να βρούμε με κάποια μέθοδο εκείνη την ευθεία [pic], έτσι ώστε τα σφάλματα που προκύπτουν να είναι όσο το δυνατόν μικρότερα. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων συνίσταται στον προσδιορισμό των παραμέτρων α, β, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποστάσεων των σημείων [pic] από την ευθεία [pic], δηλαδή το [pic] (4) να γίνεται ελάχιστο. Οι τιμές των παραμέτρων α και β, που ελαχιστοποιούν την (4), καλούνται εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων (least square estimators), συμβολίζονται με [pic] ("α καπέλο") και [pic] ("β καπέλο"), αντιστοίχως, και αποδεικνύεται (η απόδειξη εδώ παραλείπεται) ότι δίνονται από τις σχέσεις: (5) [pic] όπου [pic]. Η ευθεία [pic] (6) καλείται ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ή ευθεία παλινδρόμησης της Υ (πάνω) στη Χ. Αντικαθιστώντας το [pic] στη σχέση (6) βρίσκουμε την [pic], η οποία φανερώνει ότι η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων [pic] διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες [pic] και έχει συντελεστή διεύθυνσης το [pic]. Αντικαθιστώντας τις τιμές [pic] και [pic] από τον πίνακα 10 στις σχέσεις (5) βρίσκουμε: [pic] και [pic] οπότε η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα είναι από τη σχέση (6), η [pic]. Παρατηρούμε ότι υπάρχει σημαντική διαφορά από την ευθεία [pic] που προσαρμόσαμε "με το μάτι" στο σχήμα 16.