Ευθεία Παλινδρόμησης

Από το διάγραμμα διασποράς του προηγούμενου παραδείγματος φαίνεται καθαρά ότι υπάρχει μία σχέση ανάμεσα στο ύψος Χ και το βάρος Υ των 18 αγοριών της Γ΄ Λυκείου. Τα σημεία [pic] είναι συγκεντρωμένα περίπου γύρω από μία ευθεία, δηλαδή η σχέση μεταξύ των X και Y είναι κατά προσέγγιση γραμμική. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, μπορούμε να θεωρήσουμε τη μία μεταβλητή ως ανεξάρτητη μεταβλητή και την άλλη ως εξαρτημένη. Εδώ θεωρούμε ως ανεξάρτητη μεταβλητή το ύψος X και ως εξαρτημένη μεταβλητή το βάρος Y, οπότε η ευθεία που θα προσαρμόζεται καλύτερα στα σημεία αυτά καλείται ευθεία παλινδρόμησης της Y πάνω στη X. Όπως γνωρίζουμε, η εξίσωση μιας ευθείας δίνεται από τη σχέση: [pic] (1) όπου α και β είναι παράμετροι τις οποίες θέλουμε να υπολογίσουμε ή, όπως λέμε, να "εκτιμήσουμε", έτσι ώστε η ευθεία που θα προκύψει να μας δίνει όσο το δυνατόν την καλύτερη περιγραφή της σχέσης (εξάρτησης) που υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών X και Y. Η παράμετρος α μας δίνει το σημείο [pic], όπου η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα [pic], ενώ η παράμετρος β παριστάνει το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας. Ο πιο εύκολος τρόπος χάραξης της ευθείας είναι αυτός που γίνεται "με το μάτι". Μια τέτοια ευθεία έχουμε φέρει και στο διάγραμμα διασποράς του σχήματος 16. Για να βρούμε τα α και β, εργαζόμαστε ως εξής: - Επιλέγουμε δύο σημεία, έστω τα [pic] και [pic] πάνω στην ευθεία που φέραμε "με το μάτι". - Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες [pic] των σημείων αυτών στην (1), οπότε προκύπτει το σύστημα: [pic][pic]. - Επιλύνοντας το σύστημα αυτό βρίσκουμε [pic] και [pic] οπότε η εξίσωση της ευθείας (1) γίνεται: [pic]. (2) Επομένως, η ευθεία που κατά τη γνώμη μας προσαρμόζεται καλύτερα στα σημεία του διαγράμματος διασποράς διέρχεται από το σημείο (0 , -115,6) και έχει συντελεστή διεύθυνσης 1,06.