ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων i) [pic] ii) [pic].

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε [pic] [pic]. Άρα [pic]. ii) Έχουμε [pic] [pic], όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση [pic].

2. Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο [pic], όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το x σε μέτρα. i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο t. ii) Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο 2 s και ποια σε χρόνο 4 s; iii) Πότε το σημείο είναι (στιγμιαία) ακίνητο; iv) Πότε το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση και πότε στην αρνητική κατεύθυνση; v) Να βρεθεί το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των πρώτων 5 s.

ΛΥΣΗ

i) Η ταχύτητα είναι [pic]. ii) Η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο [pic] είναι [pic] και σε χρόνο [pic] είναι [pic]. iii) Το σημείο είναι ακίνητο, όταν [pic], δηλαδή όταν [pic] [pic] [pic] ή [pic]. Άρα, το σημείο είναι ακίνητο ύστερα από 1 s και ύστερα από 3 s. iv) Το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση, όταν [pic], δηλαδή όταν [pic] [pic] [pic] [pic] ή [pic]. Άρα, το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση στα χρονικά διαστήματα [pic] και [pic] (και στην αρνητική κατεύθυνση όταν [pic]. Σχηματικά η κίνηση του υλικού σημείου μπορεί να παρασταθεί ως εξής: [pic] v) Η απόσταση που διανύθηκε από το κινούμενο σημείο είναι: * Στη διάρκεια του πρώτου δευτερόλεπτου [pic]. * Από [pic] μέχρι [pic] [pic] * Από [pic] μέχρι [pic] [pic] Άρα, το ολικό διάστημα S που διάνυσε το σημείο σε χρόνο 5s είναι [pic].