Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου
Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων
Έως τώρα η παραγώγιση μιας συνάρτησης f γινόταν με τη βοήθεια του τύπου [pic]. Στη συνέχεια θα γνωρίσουμε μερικούς κανόνες που διευκολύνουν τον υπολογισμό της παραγώγου πιο πολύπλοκων συναρτήσεων.
- Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης [pic] Έχουμε [pic][pic] [pic] και για [pic], [pic], οπότε [pic]. Άρα [pic].
[pic] [pic] - Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης [pic]
Έχουμε [pic], και για [pic], [pic]. Επομένως [pic]. Άρα [pic].
- Η παράγωγος της συνάρτησης [pic] Έστω η συνάρτηση [pic]. Έχουμε [pic], και για [pic], [pic]. Επομένως, [pic]. Άρα [pic]
[pic] [pic]
Αποδεικνύεται ότι [pic], όπου ν φυσικός . Ο τύπος αυτός ισχύει και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ρητός αριθμός. Για παράδειγμα [pic], [pic] [pic]. Άρα [pic], όπου ρ ρητός αριθμός.
- Η παράγωγος του [pic] και του [pic]. Έστω η γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic] (σχήμα 15). Αν λάβουμε υπόψη ότι η τιμή της [pic] σε ένα σημείο [pic] είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο [pic], μπορούμε να σχεδιάσουμε προσεγγιστικά τη γραφική παράσταση της [pic]. Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της [pic] μοιάζει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic]. [pic] Πράγματι, για τη συνάρτηση [pic] αποδεικνύεται ότι [pic]. Επίσης για τη συνάρτηση [pic] αποδεικνύεται ότι [pic]. Η παράγωγος του [pic] και του [pic] Για την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση, με βάση τον αριθμό e, αποδεικνύεται ότι [pic] και [pic].