1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός Παραγώγου

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των [pic] στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε [pic] αντιστοιχίζεται στο [pic]. Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος (derivative) της f και συμβολίζεται με [pic]. Για παράδειγμα, αν [pic], τότε έχουμε: [pic], και για [pic] [pic]. Επομένως, [pic]. Έτσι, η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο [pic] είναι ίση με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα, η παράγωγος της [pic] στο [pic] είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης [pic] στο [pic], δηλαδή [pic]. Η παράγωγος της συνάρτησης [pic] λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με [pic]. Σύμφωνα με τα προηγούμενα αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι [pic] τη χρονική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του θα είναι [pic]. Αν η συνάρτηση υ είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t θα είναι η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει [pic] ή ισοδύναμα [pic].