Όριο Συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση [pic], η οποία δεν ορίζεται για [pic]. Ας εξετάσουμε όμως τη συμπεριφορά της f για τιμές του x κοντά στο 1. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις τιμές του [pic] για τιμές του x κοντά στο 1.

|[pic]1 |[pic] |[pic] |[pic] | | 0,5 |1,500000| 1,5 |2,500000| |0,9 | |1,1 | | |0,99 |1,900000|1,01 |2,100000| |0,999 | |1,001 | | |0,9999 |1,990000|1,0001 |2,010000| | | | | | | |1,999000| |2,001000| | | | | | | |1,999900| |2,000100|

Από τον παραπάνω πίνακα βλέπουμε ότι όταν το x παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 1 (και από τις δύο πλευρές του 1), το [pic] παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 2. Στο ίδιο συμπέρασμα φτάνουμε, αν παρατηρήσουμε ότι για [pic] είναι [pic], [pic] οπότε όταν το x παίρνει τιμές που τείνουν στο 1 [pic], τότε το [pic] παίρνει τιμές που τείνουν στο 2 [pic]. Λέμε λοιπόν ότι η f έχει στο σημείο 1 όριο (limit) 2 και γράφουμε [pic]. Με το προηγούμενο παράδειγμα παρουσιάσαμε με απλό τρόπο και χωρίς μαθηματική αυστηρότητα την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο [pic], που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της, υπάρχουν όμως σημεία του πεδίου ορισμού της πολύ κοντά στο [pic]. Τίποτα βέβαια δεν αποκλείει την αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης και σε ένα σημείο [pic] που να ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic], που είναι ορισμένη στο R. Παρατηρούμε ότι όταν [pic], το [pic], δηλαδή [pic]. Ομοίως, [pic] και [pic]. [pic] [pic] [pic]

(α)

(β)

(γ)

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο [pic] όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν [pic] και [pic] όπου [pic] και [pic] πραγματικοί αριθμοί, τότε αποδεικνύεται ότι: * [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]. Έτσι, για παράδειγμα, για την πολυωνυμική συνάρτηση [pic] έχουμε [pic]. Παρατηρούμε ότι για τη συνάρτηση [pic] ισχύει [pic]. Αυτό το εκφράζουμε λέγοντας ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [pic]. Γενικά μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε [pic] ισχύει [pic]. Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί. Αποδεικνύεται ότι οι γνωστές μας συναρτήσεις, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, αλλά και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις. Έτσι ισχύει για παράδειγμα [pic], [pic] και [pic] (όταν [pic]).