Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic], [pic] και τις ευθείες [pic] και [pic]. ΛΥΣΗ [pic] Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της διαφοράς [pic] στο διάστημα [pic]. Στο διάστημα αυτό έχουμε [pic] [pic] [pic] ή [pic] Επομένως, για το πρόσημο της διαφοράς [pic] έχουμε τον ακόλουθο πίνακα:

|x |0 | |[pic]| |[pic]| |[pic]| | | | | | | | | | |[pic] | |[pic]| |+ |0 |[pic]| | | | | |0 | | | | |

Λαμβάνοντας, τώρα, υπόψη τον πίνακα αυτόν, έχουμε [pic] [pic] [pic] [pic].

2. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της [pic], τον άξονα των x και την εφαπτομένη της [pic] στο σημείο [pic]. ΛΥΣΗ [pic] Η εξίσωση της εφαπτομένης της [pic] στο σημείο [pic] είναι [pic]. (1) Επειδή [pic], έχουμε [pic]. Επομένως, η (1) γράφεται: [pic]. Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου μείον το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη [pic] τον άξονα [pic] και τις ευθείες [pic] και [pic], δηλαδή [pic] [pic].

3. Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε του κυκλικού δίσκου [pic]. ΛΥΣΗ [pic] Το ημικύκλιο [pic] είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic], αφού για [pic] είναι [pic] [pic]. Αν [pic] είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου, τότε [pic]. Επειδή [pic] για κάθε [pic], έχουμε [pic]. (1) Επειδή [pic], έχουμε [pic]. Επομένως, υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic]. (1) Έτσι, έχουμε [pic], [pic], οπότε [pic]. Επιπλέον, για [pic] είναι [pic] και για [pic] είναι [pic]. Επομένως, [pic] [pic] (Επειδή [pic]) [pic]. Άρα [pic]. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το εμβαδόν της έλλειψης [pic] είναι ίσο με [pic].