3.5 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [pic]

Ο υπολογισμός ενός ολοκληρώματος [pic] κατευθείαν από τον ορισμό είναι συνήθως μία δύσκολη και πολύ κοπιαστική διαδικασία. Στην παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τρόπο υπολογισμού ολοκληρωμάτων χωρίς τη χρήση του ορισμού. Σ' αυτό θα μας βοηθήσει το γνωστό, ως θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού στηρίζεται στο επόμενο θεώρημα, το οποίο μας εξασφαλίζει την ύπαρξη παράγουσας μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ.

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση [pic], [pic], είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει: [pic], για κάθε [pic].

Για παράδειγμα [pic] και [pic].

ΣΧΟΛΙA [pic] - Εποπτικά το συμπέρασμα του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει (Σχ. 14) ως εξής: [pic] [pic]Εμβαδόν του χωρίου Ω. [pic], για μικρά [pic]. Άρα, για μικρά [pic] είναι [pic], οπότε [pic] - Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτει ότι: [pic], με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. Για παράδειγμα, [pic]

ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [pic]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [pic], τότε [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση [pic] είναι μια παράγουσα της f στο [pic]. Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [pic], θα υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic]. (1) Από την (1), για [pic], έχουμε [pic], οπότε [pic]. Επομένως, [pic], οπότε, για [pic], έχουμε [pic] και άρα [pic]. Πολλές φορές, για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις μας, συμβολίζουμε τη διαφορά [pic] με [pic], οπότε η ισότητα του παραπάνω θεωρήματος γράφεται [pic]. Για παράδειγμα, [pic] [pic] [pic].