Ορισμός εμβαδού

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [pic], με [pic] για κάθε [pic] και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες [pic], [pic]. Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω (Σχ. 9) εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή:

- Χωρίζουμε το διάστημα [pic] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους [pic], με τα σημεία [pic].

- Σε κάθε υποδιάστημα [pic] επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο [pic] και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση [pic] και ύψη τα [pic]. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι [pic].

- Υπολογίζουμε το [pic]. Αποδεικνύεται ότι το [pic] υπάρχει στο [symbol] και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων [pic]. Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με [pic]. Είναι φανερό ότι [pic].