Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

3.4 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Εμβαδόν παραβολικού χώρου

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic], τον άξονα των x και τις ευθείες [pic] και [pic] (Παραβολικό χωρίο Σχ. 5). [pic] [pic] Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημα [pic] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους [pic], με άκρα τα σημεία: [pic], [pic], [pic], ……., [pic], [pic].

- Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά. (Σχ. 6). Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα, [pic], των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. Δηλαδή, το: [pic] [pic] [pic] [pic]. [pic]

- Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την μέγιστη τιμή της f σε καθένα απ’ αυτά (Σχ. 7), τότε το άθροισμα [pic] των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού. Είναι όμως, [pic] [pic] [pic][pic]. Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των [pic] και [pic]. Δηλαδή ισχύει [pic], οπότε [pic]. Επειδή [pic], έχουμε [pic]. [pic]

- Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα [pic], [pic] και ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο [pic], [pic], καθενός διαστήματος, (Σχ. 8), τότε το άθροισμα [pic] των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού. Επειδή [pic] για [pic], θα είναι [pic], οπότε θα ισχύει [pic]. Είναι όμως, [pic]. Άρα θα ισχύει [pic]. [pic]