Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές

Έχει αποδειχτεί πειραματικά, ότι ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το χρόνο, του πληθυσμού [pic] μιας κοινωνίας, η οποία δεν επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, είναι ανάλογος του πληθυσμού. Δηλαδή, ισχύει [pic], όπου α θετική σταθερά. Αν ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας είναι [pic], δηλαδή [pic], για να βρούμε τον πληθυσμό [pic] ύστερα από χρόνο t, θα λύσουμε την παραπάνω διαφορική εξίσωση. Επειδή [pic], η εξίσωση γράφεται [pic], οπότε ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της, έχουμε διαδοχικά: [pic][pic] [pic]. [pic], [pic], με [pic]. Επειδή [pic], είναι [pic], οπότε [pic]. Η παραπάνω διαφορική εξίσωση λέγεται διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές. Γενικά,

ΟΡΙΣΜΟΣ Διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής [pic] (1), όπου [pic] η άγνωστη συνάρτηση, [pic] συνάρτηση του y και [pic] συνάρτηση του x.

Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της ως προς x. Έχουμε [pic]. Επειδή [pic], είναι [pic], οπότε έχουμε [pic]. (2) Αν [pic] είναι μια παράγουσα [pic] και [pic] μια παράγουσα της [pic], τότε η (2) γράφεται [pic], [pic]. (3) Από την τελευταία εξίσωση προσδιορίζουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητα (2) μας επιτρέπει να γράφουμε τη διαφορική εξίσωση (1) στην "άτυπη" μορφή της [pic] και να ολοκληρώνουμε τα μέλη της, το μεν πρώτο μέλος της ως προς y, το δε δεύτερο μέλος της ως προς x.