ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic] και [pic], [pic] έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο [pic]. ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των [pic] και [pic] στο διάστημα [pic].

2. Αν [pic] είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο [symbol], με [pic] και [pic] για κάθε [pic], να αποδείξετε ότι [pic] στο [pic] και [pic] στο [pic].

3. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1. Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του είναι [pic]. Να βρείτε την τιμή της γωνίας [pic] για την οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται. [pic] [pic]

4. Ένα σύρμα μήκους 20m διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματος κυκλικού τομέα. Να βρείτε την ακτίνα r του κύκλου, αν επιθυμούμε να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου.

5. Δύο διάδρομοι πλάτους 1m τέμνονται κάθετα (Σχήμα ). Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό μήκος μιας σκάλας που μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια, να στρίψει στη γωνία. Υπόδειξη: i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒ συναρτήσει της γωνίας θ, [pic]. ii) Να αποδείξετε ότι [pic]. iii) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο.

6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση [pic]. ii) Να αποδείξετε ότι [pic] για κάθε [pic]. iii) Να αποδείξετε ότι για [pic] ισχύει [pic] και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση [pic] έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις [pic], [pic].

7. i) Αν [pic] και για κάθε [pic] ισχύει [pic], να αποδείξετε ότι [pic]. ii) Αν [pic] και για κάθε [pic] ισχύει [pic], να αποδείξετε ότι [pic].

8. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση [pic] είναι κυρτή, ενώ η [pic] είναι κοίλη. ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της [pic] στο σημείο [pic] και της [pic] στο [pic]. iii) Να αποδείξετε ότι: α) [pic] β) [pic]. Πότε ισχύουν οι ισότητες; iv) Η [pic] βρίσκεται πάνω από την [pic].

9. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης [pic], [pic]. ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του [pic] για την οποία ισχύει [pic], για κάθε [pic]. iii) Για την τιμή του λ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία [pic] εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης [pic].

10. Δίνεται η συνάρτηση [pic]. [pic] Να αποδείξετε ότι i) Η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και στη συνέχεια ότι η ευθεία [pic] (ο άξονας [pic]) είναι η εφαπτομένη της [pic] στο [pic]. ii) Ο άξονας [pic] έχει με την [pic] άπειρα κοινά σημεία, παρόλο που εφάπτεται της [pic]. iii) Η ευθεία [pic] είναι ασύμπτωτη της [pic] στο [pic] και στο [pic].

11. A. Έστω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε [pic], [pic] και [pic] για κάθε [pic] (1) Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση [pic] είναι σταθερή στο [pic] και να βρείτε τον τύπο της. ii) [pic] για κάθε [pic]. Β. Έστω δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε: [pic], [pic] και [pic] για κάθε [pic] [pic], [pic] και [pic] για κάθε [pic]. Να αποδείξετε ότι: i) Οι συναρτήσεις [pic] και [pic] ικανοποιούν τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος Α. ii) [pic] και [pic] για κάθε [pic]. [pic]

12. Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει ακτίνα 1cm και η ε εφάπτεται σε αυτόν στο σημείο Α. Το τόξο ΑΜ είναι θ rad και το ευθ. τμήμα ΑΝ είναι θ cm. Η ευθεία ΜΝ τέμνει τον άξονα [pic] στο σημείο [pic]. Να δείξετε ότι: i) [pic] ii) [pic]. [pic]

13. Ένας πεζοπόρος Π ξεκινάει από ένα σημείο Α και βαδίζει γύρω από μια κυκλική λίμνη ακτίνας [pic]km με ταχύτητα [pic]km/h. Αν S είναι το μήκος του τόξου ΑΠ και [pic] το μήκος της απόστασης ΑΠ του πεζοπόρου από το σημείο εκκίνησης τη χρονική στιγμή t: Α) Να αποδείξετε ότι i) [pic] και [pic], ii) [pic], [pic] και [pic]. Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης [pic]. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης [pic], όταν α) [pic], β) [pic] και γ) [pic];

14. Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να μαζέψουν 12500 κιλά ντομάτες. Κάθε εργάτης μαζεύει 125 κιλά την ώρα και πληρώνεται 1800 δρχ. την ώρα. Για το συντονισμό και επιστασία των εργατών ο αγρότης θα προσλάβει και έναν επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει 3000 δρχ. την ώρα. Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει στο σωματείο των εργατών εισφορά 3000 δρχ. για τον επιστάτη και κάθε εργάτη. Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσει το ελάχιστο δυνατόν και ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντηση σας. Α Ψ 1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [pic], παραγωγίσιμη στο [pic] και [pic] για όλα τα [pic], τότε [pic]. Α Ψ 2. Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο [pic] με [pic], τότε υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic]. Α Ψ 3. Αν οι [pic] είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο [pic], με [pic] και [pic], τότε υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε στα σημεία [pic] και [pic] οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες. Α Ψ 4. Αν [pic]για κάθε [pic], τότε: α) το [pic] είναι τοπικό μέγιστο της f Α Ψ β) το [pic] είναι τοπικό ελάχιστο της f Α Ψ 5. α) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. Α Ψ β) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. Α Ψ 6. Η συνάρτηση [pic] με [pic] και [pic] έχει πάντα ένα σημείο καμπής. Α Ψ 7. Αν οι συναρτήσεις [pic] έχουν στο [pic] σημείο καμπής, τότε και η [pic] έχει στο [pic] σημείο καμπής. Α Ψ 8. Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο [pic] και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα [pic]. Αν υπάρχει κάποιο σημείο [pic] της [pic] του οποίου η απόσταση από τον άξονα [pic] είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της [pic] είναι οριζόντια. Α Ψ 9. Η ευθεία [pic] είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: α) [pic] Α Ψ β) [pic] Α Ψ 10.Αν γραφική παράσταση της συνάρτησης f δίνεται από το παρακάτω σχήμα, τότε: [pic] i) το πεδίο ορισμού της [pic] είναι το [pic] Α Ψ ii) το πεδίο ορισμού της [pic] είναι το [pic] Α Ψ iii)[pic] για κάθε [pic] Α Ψ iv) υπάρχει [pic]. Α Ψ 11. Η συνάρτηση [pic] έχει: α) μια, τουλάχιστον, ρίζα στο [pic] Α Ψ β) μια, ακριβώς, ρίζα στο [pic] Α Ψ γ) τρεις πραγματικές ρίζες Α Ψ 12. Αν για τις παραγωγίσιμες στο [symbol] συναρτήσεις [pic] ισχύουν [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], τότε [pic] Α Ψ ΙI. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση 1. Το [pic] ισούται με: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) 0 Ε) [pic]. 2. Το [pic] ισούται με: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic] Ε) 0 3. Αν [pic] τότε η [pic] ισούται με: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic] Ε). [pic] 4. Αν [pic] τότε η [pic] ισούται με: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic] 5. Αν [pic]τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο 0 ισούται με: Α) 1 Β) [pic] Γ) 0 Δ) 27 Ε) δεν υπάρχει. 6. Αν οι εφαπτόμενες των συναρτήσεων [pic] και [pic] στα σημεία με τετμημένη [pic] είναι παράλληλες, τότε το [pic] είναι: Α) 0 Β) [pic] Γ) [pic] Δ) 1 Ε) 2. 7. Αν [pic] και [pic], τότε το β ως συνάρτηση του α ισούται με: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic] Ε) [pic]. 8. Αν [pic] για κάθε [pic] και [pic], τότε: Α) [pic] Β) [pic] Γ) [pic] Δ) [pic]. ΙΙΙ. 1. Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις συναρτήσεις α, β, γ, δ σε εκείνη από τις συναρτήσεις Α, Β, Γ, Δ, Ε, Z που νομίζετε ότι είναι η παράγωγός της. [pic] [pic] [pic] [pic] ______________________________________________________ [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 2. Καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις να αντιστοιχίσετε στην ευθεία που είναι ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης στο [pic]. |ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ |ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ | |1. [pic] | Α. [pic] | |2. [pic] |Β. [pic] | |3. [pic] | Γ. [pic] | | | Δ. [pic] | | | Ε. [pic] |