2.9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL

Ασύμπτωτες [pic] - Έστω η συνάρτηση [pic] (Σχ. 45). Όπως είδαμε: [pic]. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο 0 από θετικές τιμές, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία [pic] είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της [pic]. Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια [pic], [pic] είναι [pic] ή [pic], τότε η ευθεία [pic] λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

- Για την ίδια συνάρτηση παρατηρούμε ότι: [pic]. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο [pic], η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία [pic] είναι οριζόντια ασύμπτωτη της [pic] στο [pic]. Επίσης παρατηρούμε ότι [pic]. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο [pic], η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία [pic] είναι οριζόντια ασύμπτωτη της [pic] στο [pic]. Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ Αν [pic] (αντιστοίχως [pic], τότε η ευθεία [pic] λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο [pic] (αντιστοίχως στο [pic]). [pic] - Έστω η συνάρτηση [pic] και η ευθεία [pic] (Σχ. 46). Επειδή [pic], καθώς το x τείνει στο [pic], οι τιμές της f προσεγγίζουν τις τιμές της g. Δηλαδή, η γραφική παράσταση της f προσεγγίζει την ευθεία [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία [pic] είναι ασύμπτωτη (πλάγια) της [pic] στο [pic]. Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ Η ευθεία [pic] λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο [pic], αντιστοίχως στο [pic], αν [pic], αντιστοίχως [pic].

Η ασύμπτωτη [pic] είναι οριζόντια αν [pic], ενώ αν [pic] λέγεται πλάγια ασύμπτωτη. Για τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται.

ΘΕΩΡΗΜΑ Η ευθεία [pic] είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο [pic], αντιστοίχως στο [pic], αν και μόνο αν [pic] και [pic], αντιστοίχως [pic] και [pic].

ΣΧΟΛΙΑ 1. Αποδεικνύεται ότι: - Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες. - Οι ρητές συναρτήσεις [pic], με βαθμό του αριθμητή [pic] μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες. 2. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε: - Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται. - Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής. - Στο [pic], [pic], εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [pic], αντιστοίχως [pic].